Weiss nicht wie ich an Lösung der Extremwertaufgabe komme

Neue Frage »

skystorm Auf diesen Beitrag antworten »
Weiss nicht wie ich an Lösung der Extremwertaufgabe komme
Erstmal Hallo,
ich stelle mich dann mal direkt mit einer Extremwertaufgabe vor.

Folgende Aufgabe:

Welcher Punkt auf der Hyperbel hat den kleinsten Abstand vom Punkt Q(1,0)?

Ich weiss das für einen Extremwert f'(x)=0 sein muss und f"(x) ungleich 0.
und ich weiss eigentlich auch wie ich f(x,y) nach x bzw. nach y ableite, aber dann weiss ich nicht mehr weiter, wie bekomme ich den Punkt Q darein?






stimmt das so?


Wäre echt klasse wenn mir da jemand helfen könnte, ich hab im mom keine Idee wie da dran kommen soll.

THX Sky
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Also ich habs jetzt selber mal versucht.... Ich bin mir nicht sicher, ob ich dir da überhaupt eine Hilfe sein kann. Also durch Pythagoras kannst du den Abstand, ich nenn ihn hier mal d in Abhängigkeit von x und y stellen, also



Bist du dir sicher, dass du f'(x) brauchst. Ich geb dir auch mal nen Tipp, stell mal die Aufgabe um, dann schaut sie "normaler" aus, also nach y auflösen. ^^ Die Ableitungen stimmen so nämlich nicht.

Ausserdem, wenn dus umgestellt hast, merkst es selber, y>0 nicht y>=0
 
 
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

verstehichnicht hat den ersten Schritt schon gemacht: Du musst die Zielfunktion formulieren, die Du minimieren oder maximieren möchtest, und das ist in diesem Fall die Funktion, die einem Punkt P(x/y) seinen Abstand A vom Punkt Q in Abhängigkeit von x und y zuordnet.
Jetzt musst Du aber - und das ist das Entscheidende - mit der nach x oder y aufgelösten Nebenbedingung durch Einsetzen dafür sorgen, dass nur noch EINE der beiden Variablen in der Funktion für den Abstand stehenbleibt. Erst DANN hast Du eine Funktion, die Du durch Ableiten etc. auf Extrema untersuchen kannst. Die Nebenbedingung ergibt sich dabei hier aus der Tastsache, dass Du eine Hyperbel untersuchst, also ist.
skystorm Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich weiter bin ich noch nicht.
Also ist meine Zielfunktion.
Und meine Nebenbed. ist (wegen Hyperbel) (müsste die nicht bzw. lauten?

Ich setzte als die nach y umgestellte Nebenbed. in meine Zielfkt. ein.

diese Funktion müsste ich dann ableiten, aber wie und wie bekomme ich da noch den Punkt Q rein?

Schon mal Danke
Sky
schrawenzel Auf diesen Beitrag antworten »

@Thales:
Muss man da nicht wirklich nehmen.
Also ich hab keine Ahnung, ob das mathematisch richtig ist, aber ich hoff doch mal smile

@skystorm:
Nimm doch mal deine beiden Funktionen, die du hast und setz die eine in die andre ein, so dass schon mal eine variable wegfällt:

1)
2)

und dann noch ableiten und gleich null setzen und umstellen und dann steht eigentlich schon x=... da.

Hoff, ich konnt dir irgendwie helfen!
schrawenzel
skystorm Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab das mal gemacht allerdings mit statt

Das sieht dann so aus:

bzw.

und wenn ich das ableiten will, dann bekomme ich ein grosses Chaos und habe leider immer noch keine Lösung und auch noch nicht den Bezug zum Punkt Q begriffen.


Sky
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst auch das minimum von d^2 suchen, damit hast du dann

und nun bestimmst du das minimum (extremum).
werner

EDIT: f(x) korrigiert

skystorm Auf diesen Beitrag antworten »

@wernerrin
jetzt bin ich ganz verwirrt also ist . Und wie komme ich damit an das Minimum, wenn ich das nach x umstelle bekomme ich 1 raus und wenn ich das ableite bekomme ich 0 raus.

Sky
schrawenzel Auf diesen Beitrag antworten »

@skystorm:

Das ist es ja, du musst nur noch wie wernerrin schon gesagt hat, d^2 nehmen. Wenn du dein Ergebnis jetzt quadrierst und zusammenfasst, dann kommst du auf das Ergebnis von wernerrin und schon hast dus^^

VlG
schrawenzel
skystorm Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann ich nicht nachvollziehen.
wenn ich direkt d² ableite komme ich auf
und wenn ich d² einfach mal ausmultipliziere komme ich auf
was muss ich den quadrieren d oder d' ?

Sky
schrawenzel Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst gar nichts mehr quadrieren, du leitest dein d² ab und setz es gleich null (wegen Extrema) und dann nach x auflösen...

VlG
schrawenzel
skystorm Auf diesen Beitrag antworten »

ja und genau da habe ich das Problem, wenn ich mein d² ableite komme ich auf und nicht auf

und mit meiner Ableitung komme ich dann auf:

und mit

Sky
skystorm Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Lösung hab ich jetzt ob das richtig ist weiss ich leider noch nicht.
Ausserdem ist mir noch nicht klar wieso und wofür ich den Punkt Q(1,0) brauche, kann mir das jemand erklären?

Sky
schrawenzel Auf diesen Beitrag antworten »

Q ist doch dein Ausgangspunkt. Also von dem du die kürzeste Entfernung suchst.

edit: Also Lösung hab ich die gleiche und wenn ich dann andre Punkte einsetze, also probiere, müsste es eigentlich schon richtig sein....
skystorm Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir schrawenzel und natürlich auch allen anderen, wie es aussieht hab ichs jetzt verstanden, bin froh das wir auf die Lösung gekommen sind.

Vorraus gesetzt der Lösungsweg stimmt so.

Der Punkt Q ist in der Zeilfunktion eingebaut, oder?

Sky
schrawenzel Auf diesen Beitrag antworten »

Der Punkt Q ist verantwortlich für die 1 bei

d²=(1-x)²+y², weil du damit den Abstand zwischen dem Punkt und berechnest, allgemein ausrechnest. Wobei der Punkt der Funktion ist, an der du deine senkrechte Gerade durch machst für das Dreieck vom Pythagoras. Zeichnes dir mal auf, dann wirds klarer^^

Nadine
skystorm Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal danke euch allen für die gute Hilfe.
Ich schreib den Weg jetzt nochmal komplett auf, nicht das da noch ein Fehler drin ist.


Zeilfkt. (enthält den Punkt Q):
Die Ausgangsfkt. (also die Nebenbed.) nach umgestellt
und in die Zielfkt. einsetzen
ausmultiplizieren
ableiten das muss gleich null sein
umstellen nach x ergibt
in die Nebenbed. einstezen
nochmal ableiten wegen überprüfung das ist ungleich null.

Ich denke das sollte es doch sein oder?

THX Sky
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »