Bild- und Urbildmenge

31.03.2008, 16:02

565

Bild- und Urbildmenge

Hallo, ich übe gerade mal ein paar Aufgaben und unter anderem habe ich nun die folgende:

Sei $\begin{eqnarray*} f: M \to N \end{eqnarray*}$ und V ist eine Teilmenge von N, man zeige nun:
$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(V))\subset V \end{eqnarray*}$ .

Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich hier anfangen soll, also meine Vorstellung zu diesem Thema sieht so aus:
Ich habe zunächst das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ dabei handelt es sich um ein x in der Menge M und wenn ich darauf die Funktion f(x) anwende, dann treffe ich Elemente in der Teilmenge V von N und somit wäre der Ausdruck richtig, stimmt das so, oder mache ich einen Denkfehler?

Und wie schreibt man sowas auf?

31.03.2008, 16:08

tmo

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wie sind denn bei einer Abbildung Bild und Urbild genau definiert?

Letztendlich musst du das so aufschreiben:

Man fängt an mit

Sei $\begin{eqnarray*} x \in f(f^{-1}(V)) \end{eqnarray*}$ beliebig...
Dann folgerst du solange, bis du bei "Dann gilt $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ " angekommen bist.

Du nimmst dir also ein beliebiges Element der linken Menge und zeigst, dass es auch in der rechten Menge enthalten ist.

31.03.2008, 16:08

kiste

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Hallo,

die Aufgabe besteht im weitesten Sinne eigentlich nur daraus die Definitionen aufzuschreiben. Was bedeutet also $\begin{eqnarray*} f^{-1} (V) \end{eqnarray*}$ ausgeschrieben?

31.03.2008, 16:09

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Zitat:

Original von 565
Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich hier anfangen soll, also meine Vorstellung zu diesem Thema sieht so aus:
Ich habe zunächst das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ dabei handelt es sich um ein x in der Menge M

Nein, nicht "ein x", sondern eine Teilmenge von M. Siehe hier:

Verständnisproblem mit sigma-Algebra

Dass es in dem Thread dort um Stochastik geht, ist irrelevant: Der Teil mit den Urbildern ist themenübergreifend.

31.03.2008, 16:32

565

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Also irgendwie weiß ich nicht wie ich darauf weiter folgern soll?

Das Urbild ist definitiert wie folgt:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) = \{ x \in M \mid f(x) \in V\} \end{eqnarray*}$

31.03.2008, 16:36

kiste

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Aha interessant, was passiert also wenn wir f auf jene Menge anwenden, wenn wir schon wissen das f(x) in V ist? Augenzwinkern

31.03.2008, 16:39

565

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Na ja, dass es auf jedenfall wieder eine Teilmenge von V ist...

Aber ist das ein Beweis?

31.03.2008, 16:43

kiste

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Ja, fange am besten so an wie tmo, setze dann die Definition ein und folgere mit einem kleinem Satz das dann gilt $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$

31.03.2008, 16:58

565

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Also habe das jetzt so gemacht:

$\begin{eqnarray*} x \in f(f^{-1}(V)) \end{eqnarray*}$ , so nun gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}=\{x \in M \mid f(x) \in V \} \end{eqnarray*}$
Dann kann man daraus jetzt folgern, dass $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ und daraus folgt dann weiter, dass x in V ist...

Aber das überzeugt mich gerade nicht? Ist das richtig?

31.03.2008, 17:03

kiste

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Ja das ist auch falsch. Warum kann man den dann folgern das $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1} (V) \end{eqnarray*}$ ist? Das ist doch eine ganz andere Grundmenge.

$\begin{eqnarray*} x \in f(f^{-1} (V)) \Rightarrow x\in f(\{y\in M ~|~ f(y) \in V\}) \end{eqnarray*}$ und nach Definition der Menge also....

31.03.2008, 17:25

565

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Das versteh ich nicht, wieso steht denn da nun statt x ein y in der Mengenklammer?

31.03.2008, 18:24

kiste

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Weil mit x ja bereits das Element das wir untersuchen gemeint ist. Das was in der Mengenklammer drin ist, ist aber was anderes. Deswegen muss es auch anders heißen, ob jetzt y oder sonst irgendwas ist dabei irrelevant

01.04.2008, 02:03

WebFritzi

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Seien $\begin{eqnarray*} V\subset N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W\subset M. \end{eqnarray*}$ Dann gelten

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) = \{x\in M : f(x)\in V\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(W) = \{y\in N : \exists x\in W\;\text{ mit }\; f(x) = y\}. \end{eqnarray*}$

Fange nun so an: "Sei $\begin{eqnarray*} y\in f(f^{-1}(V)). \end{eqnarray*}$ " Setze nun $\begin{eqnarray*} W := f^{-1}(V). \end{eqnarray*}$ Dann ist also $\begin{eqnarray*} y\in f(W). \end{eqnarray*}$ Nach obigem existiert also...

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