Schildkröte / Gummiband

22.09.2005, 15:32	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Schildkröte / Gummiband Hi mathematiker, Hier mal eine Aufgabe , wobei ich Hilfe benötige sie mathematisch richtig hinzuschreiben und zu berechnen. Die Aufgabe : Eine Schildkröte sitzt auf dem einen Ende eines beliebig dehnbaren Gummibandes von 10m Länge und möchte zum anderen Ende kriechen. Sie schafft jeden Tag genau einen Meter, aber jede Nacht, wenn die Schildkröte auf dem Band ruht, wird es gemeinerweise das Gummiband gleichmäßig um genau 10m gedehnt. Wird die Schildkröte trotzdem das andere Ende erreichen können ? Mein Ansatz: Nach längerem Überlegen habe ich folgende Formel für den zurückgelegten Weg nach jedem Tag(Tag+Nacht) berechnet(inkl. dem Dehnen, da das Band gleichmäßig dedehnt wird!): $\begin{eqnarray} a_1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{1}{n}( a_n+1)+(a_n+1) \end{eqnarray}$ Die Länge des Gummibandes nach n Tagen beträgt: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{k+1}~10 \end{eqnarray}$ Beispiele: 1 Tag: Weg:=2 Gesamtlänge:=20 Quotient: 0,1 2 Tag: Weg:=4 1/2 Gesamtlänge:=30 Quotient:0,15 3 Tag Weg:= 7 1/3 Gesamtlänge:=40 Quotient:0,183 usw. Ich weiß nun, wenn der Quotient gleich 1 ist, hat die Schildkröte das andere Ende erreicht, oder die Differenz gleich null usw.. Mein Problem ist jetzt , wie ich das berechnen kann , außer mit dem Computer , denn da habe ich ein Ergebnis raus , wonach die Schildkröte etwa 33Jahre oder ungefähr 12368 Tage benötigt.
22.09.2005, 15:39	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
in deinem Summenzeichen muss aber was fehlen ne?!?
22.09.2005, 15:46	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Statt Summenzeichen , schreib ich einfach $\begin{eqnarray} 10(n+1) \end{eqnarray}$ für die Länge des Gummibandes in Abhängigkeit der Tage.
23.09.2005, 20:49	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man dies auch ohne den Computer explizit ausrechnen ? $\begin{eqnarray} 1=\frac{1}{10} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Ich möchte nun erfahren , nach wieviel Tagen(n) die Schildkröte das Ende erreicht. Aber diesmal ohne den Computer
23.09.2005, 20:52	gugelhupf	Auf diesen Beitrag antworten »
ohhhhhhh neeeeinnnn. wie süsssssss.
23.09.2005, 21:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@koRn Mit der Euler-Mascheroni-Konstante $\begin{eqnarray} \gamma\approx 0.577216 \end{eqnarray}$ kannst du für große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n ~ \frac{1}{k} \approx \gamma+\ln n \end{eqnarray}$ abschätzen. Daraus kriegst du dann das ungefähre $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ raus.
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23.09.2005, 23:09	pimaniac	Auf diesen Beitrag antworten »
blöde schildkröte
24.09.2005, 03:36	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
@arthur Danke. Nja , die Aufgabe ist ganz lustig Den Ansatz kann man ja selber herausfinden ,aber die Rechnung dann lösen...

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