Aufgabe: Wahrscheinlichkeit bei mehr als zwei Ereignissen

31.03.2008, 22:53

NatürlicheZahl

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Aufgabe: Wahrscheinlichkeit bei mehr als zwei Ereignissen

Hallo,

ich habe gerade eine Aufgabe gerechnet und bin mir nicht sicher, ob diese richtig ist.
Würde mich freuen, wenn mal jemand rüberschauen könnte, ob diese richtig ist.

Frage:
Ich habe eine Urne mit 100 nummerierten Kugeln, welche die Nummern 1,2,3,...,100 tragen. Wenn man eine Kugel zufällig zieht, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl auf der Kugel durch 2,3 oder 5 teilbar ist?

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} E_A = \{ 4;8;12;16;...;e_{12}\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_B = \{ 7;14;21;28;...;e_{7}\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_C = \{ 9;18;27;36;...;e_{5}\} \end{eqnarray*}$

also folgt:
$\begin{eqnarray*} P(A)=50% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B)=33% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(C)=20% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A und B)=16,5% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B und C)=6,6% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A und C)=10% \end{eqnarray*}$

folglich:
$\begin{eqnarray*} P(A oder B oder C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A und B) - P(B und C) - P(A und C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A oder B oder C)=50%+33%+20%-16,5%-6,6%-10% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A oder B oder C)=69,9% \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Vielen Dank! Freude

Freude

P.S.: Sorry, für das "und" & "oder" jeweils, ich kenne das Zeichen in Latex nicht! unglücklich

unglücklich

31.03.2008, 22:59

AD

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Zitat:

Original von NatürlicheZahl
Ich habe eine Urne mit 100 nummerierten Kugeln, welche die Nummern 1,2,3,...,50 tragen.

Ähmm - taucht jede Nummer zweimal auf? Oder ist das ein Schreibfehler, und du meinst eher 1,2,...,100 ?

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
also folgt:
$\begin{eqnarray*} P(A)=50% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B)=33% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(C)=20% \end{eqnarray*}$

Die Werte passen eher zu den Teilern 2, 3, 5 statt zu den von dir angegebenen 4, 7, 9. geschockt

geschockt

31.03.2008, 23:06

NatürlicheZahl

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Oh, sorry, habe leider zwei Aufgaben durcheinandergeworfen. Ich habe die Werte oben korrigiert.

Ist die Aufgabe richtig gelöst?

Vielen Dank! smile

smile

31.03.2008, 23:08

AD

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Sicher nicht, zumindest die Zahlenwerte sind falsch - das Edit meines letzten Beitrags hast du sicher noch nicht mitgekriegt.

01.04.2008, 13:50

NatürlicheZahl

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Ist denn generell was an der Rechnung falsch? Verrechnet habe ich mich nicht, soweit ich das sehe. verwirrt

verwirrt

01.04.2008, 14:32

AD

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Also wenn du gemäß P(A)=50% meinst, dass jede zweite der Zahlen von 1..100 durch 4 teilbar ist, dann hast du dich schon gewaltig verrechnet.

EDIT: Achso, du hast nicht die Rechnung, sondern klammheimlich die Teiler 4, 7, 9 durch 2, 3, 5 ersetzt - ohne Hinweis, dass erst was anderes stand. Für diesen Editiermissbrauch gibt's erstmal Forum Kloppe

Forum Kloppe

.

Aber auch so sind noch fehler drin:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=16.5% \end{eqnarray*}$ steht da bei dir. Also sind 16,5 der Zahlen von 1..100 sowohl durch 2 als auch durch 3 - also insgesamt durch 6 - teilbar? Bei mir sind es 16, bei 100 Zahlen kann da gar keine gebrochene Prozentzahl rauskommen!!! Ähnlich verhält es sich mit $\begin{eqnarray*} P(B\cap C) \end{eqnarray*}$ .

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01.04.2008, 14:40

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Also wenn du gemäß P(A)=50% meinst, dass jede zweite der Zahlen von 1..100 durch 4 teilbar ist, dann hast du dich schon gewaltig verrechnet.

Mensch

Augenzwinkern

Ich hab doch schon gesagt ich hab mich vertippt, weil ich wegen den Aufgaben durcheinander gekommen bin smile

smile

Dann nochmal ausführlich, wie es richtig sein soll:

Frage:
Ich habe eine Urne mit 100 nummerierten Kugeln, welche die Nummern 1,2,3,...,100 tragen. Wenn man eine Kugel zufällig zieht, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl auf der Kugel durch 2,3 oder 5 teilbar ist?

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} E_A = \{ 2;4;6;8;...;e_{50}\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_B = \{ 3;6;9;12;...;e_{33}\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_C = \{ 5;10;15;20;...;e_{20}\} \end{eqnarray*}$

also folgt:
$\begin{eqnarray*} P(A)=50% \end{eqnarray*}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl, die gezogen wird also durch 2 teilbar ist, beträgt 50%.

weiter:

Durch 3 teilbar:
$\begin{eqnarray*} P(B)=33% \end{eqnarray*}$

Durch 5 teilbar:
$\begin{eqnarray*} P(C)=20% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A und B)=16,5% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B und C)=6,6% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A und C)=10% \end{eqnarray*}$

folglich:
$\begin{eqnarray*} P(A oder B oder C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A und B) - P(B und C) - P(A und C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A oder B oder C)=50%+33%+20%-16,5%-6,6%-10% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A oder B oder C)=69,9% \end{eqnarray*}$

Wo liegt denn dann mein Fehler? unglücklich

unglücklich

01.04.2008, 14:44

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Also wenn du gemäß P(A)=50% meinst, dass jede zweite der Zahlen von 1..100 durch 4 teilbar ist, dann hast du dich schon gewaltig verrechnet.

EDIT: Achso, du hast nicht die Rechnung, sondern klammheimlich die Teiler 4, 7, 9 durch 2, 3, 5 ersetzt - ohne Hinweis, dass erst was anderes stand. Für diesen Editiermissbrauch gibt's erstmal Forum Kloppe

Forum Kloppe

.

Aber auch so sind noch fehler drin:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=16.5% \end{eqnarray*}$ steht da bei dir. Also sind 16,5 der Zahlen von 1..100 sowohl durch 2 als auch durch 3 - also insgesamt durch 6 - teilbar? Bei mir sind es 16, bei 100 Zahlen kann da gar keine gebrochene Prozentzahl rauskommen!!! Ähnlich verhält es sich mit $\begin{eqnarray*} P(B\cap C) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe einfach:

$\begin{eqnarray*} P(B\cap C)= P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$ gerechnet.

Ist das nicht richtig? geschockt

geschockt

01.04.2008, 14:44

AD

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Nein, das ist falsch. Wie kommst du darauf, dass diese beiden Ereignisse unabhängig sind - das sind sie nicht.

01.04.2008, 14:53

NatürlicheZahl

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Also hätten wir dann:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B)=16% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B \cap C)=6% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A \cap C)=10% \end{eqnarray*}$

und daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B \cap C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A und B) - P(B und C) - P(A und C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A \cap B \cap C)=50%+33%+20%-16%-6%-10% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B \cap C)=71% \end{eqnarray*}$

So richtig?

01.04.2008, 14:55

AD

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Ich kann leider nix erkennen - deine LaTeX-Formeln sind verunglückt.

------------------------------

Nochmal ganz von vorn: Du betrachtest die drei Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch 2 teilbar
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch 3 teilbar
$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch 5 teilbar

Dann ist die inhaltliche Bedeutung der Durchschnitte

$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch kgV(2,3)=6 teilbar
$\begin{eqnarray*} A\cap C \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch kgV(2,5)=10 teilbar
$\begin{eqnarray*} B\cap C \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch kgV(3,5)=15 teilbar
$\begin{eqnarray*} A\cap B\cap C \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch kgV(2,3,5)=30 teilbar

Den Dreierdurchschnitt habe ich auch noch aufgeführt, den hast du oben ganz unterschlagen! Es ist schließlich

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ ,

der Dreierdurchschnitt wird also durchaus benötigt, sofern er nicht leer ist (und das ist er hier nicht).

01.04.2008, 14:57

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich kann leider nix erkennen - deine LaTeX-Formeln sind verunglückt.

------------------------------

Nochmal ganz von vorn: Du betrachtest die drei Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch 2 teilbar
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch 3 teilbar
$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch 5 teilbar

Dann ist die inhaltliche Bedeutung der Durchschnitte

$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch kgV(2,3)=6 teilbar
$\begin{eqnarray*} A\cap C \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch kgV(2,5)=10 teilbar
$\begin{eqnarray*} B\cap C \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch kgV(3,5)=15 teilbar
$\begin{eqnarray*} A\cap B\cap C \end{eqnarray*}$ ... gezogene Zahl ist durch kgV(2,3,5)=30 teilbar

Den Dreierdurchschnitt habe ich auch noch aufgeführt, den hast du oben ganz unterschlagen! Es ist schließlich

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ ,

der Dreierdurchschnitt wird also durchaus benötigt, sofern er nicht leer ist (und das ist er hier nicht).

Ok super, vielen Dank! Das ist eine tolle Erklärung! Ich kann das auch alles nachvollziehen, bis auf folgenden Punkt:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$

Wie kommt der letzte Teil, also $\begin{eqnarray*} + P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ zustande?

01.04.2008, 15:01

AD

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Gegenfrage: Wie kommt deine Formel ohne diesen letzten Term zustande? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Siehe Siebformel.

01.04.2008, 15:03

Leopold

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Wenn jemand falsch schriebe:

(x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy²

und von jemand anderem korrigiert würde, er habe das Glied y³ unterschlagen, es müsse nämlich

(x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

heißen, und der erste wiederum fragte, wie denn der letzte Teil "+y³" zustande komme, was würdest du dann diesem antworten?

01.04.2008, 15:08

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn jemand falsch schriebe:

(x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy²

und von jemand anderem korrigiert würde, er habe das Glied y³ unterschlagen, es müsse nämlich

(x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

heißen, und der erste wiederum fragte, wie denn der letzte Teil "+y³" zustande komme, was würdest du dann diesem antworten?

Big Laugh

01.04.2008, 15:21

NatürlicheZahl

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Meine leider falsche Formel kam wie folgt zustande:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) \end{eqnarray*}$

Wenn man das Bild unten betrachtet, addiere ich alle Kreise und da ich die von mir gestreift-makierten Flächen nun jedesmal doppelt habe, muss ich sie wieder abziehen.

Nun frage ich mich, wie halt dein letzter Term zustande kommt.

01.04.2008, 15:23

AD

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Vielleicht malst du es nochmal, und zwar so, dass der Dreierdurchschnitt nicht leer ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder du liest dir den angegebenen Link zur Siebformel durch, der aber zugegebenermaßen eher auf Hochschulniveau ist. Na egal, sieh dich mal im Board um, da sind schon öfter Threads zu solchen Dreierdurchschnitten/-vereinigungen Thema gewesen.

01.04.2008, 15:25

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Vielleicht malst du es nochmal, und zwar so, dass der Dreierdurchschnitt nicht leer ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder du liest dir den angegebenen Link zur Siebformel durch, der aber zugegebenermaßen eher auf Hochschulniveau ist. Na egal, sieh dich mal im Board um, da sind schon öfter Threads zu solchen Dreierdurchschnitten/-vereinigungen Thema gewesen.

Ja danke, dann hab ichs verstanden!

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