Substitution... was auch sonst...

28.03.2004, 15:42

Bandobras

Substitution... was auch sonst...

Hi!
Kann mir irgendwer sagen wie ich (x/sqrt(1-x^2))^3 löse?
einmal sollte das mit u = sqrt(1- x^2) gemacht werden
und einmal mit x = sin(t) und u = cos(t)
hab da irgendwie grad nicht so den plan von

28.03.2004, 16:10

Drödel

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RE: Substitution... was auch sonst...
Kannst du das etwas genauer formulieren? Willst du das integrieren? Differenzieren? Nullstellen ausrechen? ....

28.03.2004, 16:21

Bandobras

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... gute idee ^^ versuche das schon so lange das ich das beim schreiben hier vergessen habe... war für mich irgendwie klar was ich da versuchen soll^^

naja... die aufgabe ist die Stammfunktion zu bilden
einmal halt mit u = sqrt(bla)
und einmal mit den andern beiden ^^

28.03.2004, 16:53

Drödel

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Na gut. Einmal Substitution bitte: $\begin{align*} u(x):=(1-x^2) \qquad \Rightarrow \qquad u'(x) =- 2x \end{align*}$

$\begin{align*} \int \frac{x}{\sqrt{(1-x^2)}^3} dx = \int \frac{x}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} dx = \int \frac{x}{u^{\frac{3}{2}} \cdot (-2x)} du = - \int \frac{1}{2u^{\frac{3}{2}}} du = - \frac{- 2}{2u^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}= \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}} \end{align*}$

Happy Mathing

28.03.2004, 17:32

Bandobras

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ja die sache ist nur, daß ich das ganze ding hoch 3 nehme und nicht nur die wurzel

28.03.2004, 17:37

Drödel

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Ups

Da hab ich wohl eine ASCII-Klammer "falsch interpretiert" traurig

ABER: Geht mit der gleichen Substitution - fast ganauso. Da bleibt dann im Zähler halt noch ein x^2 nach der Substitution übrig, das kannste aber da u=1-x^2 erstetzen durch 1-u den x^2 = 1-u. Dann machste da 2 Integrale draus. Eins mit 1 und eins mit u im Zahler (bei letzterem kann man ja auch noch Zähler und Nennerpotenz des u "verrechnen").

OK?

28.03.2004, 19:01

Bandobras

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Danke für die mühe, aber noch immer nicht so ganz das was ich wollte smile

ich soll das so lösen:

Zitat:

einmal sollte das mit u = sqrt(1- x^2) gemacht werden
und einmal mit x = sin(t) und u = cos(t)

28.03.2004, 19:47

Drödel

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Oh man bist du hartnäckig Augenzwinkern

Nur weil ich ne alternative Substitution angeboten hab, die 10000000-mal besser funzt, aber wolln mer mal nicht so sein . Dann substituieren wir halt anders:

$\begin{align*} u(x):=\sqrt{1-x^2} \qquad \Leftrightarrow \qquad x^2 = 1-u^2 \end{align*}$ ZUFRIEDEN ? Augenzwinkern

$\begin{align*} u'(x):=\frac{2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}$

Also wird aus deinem Integral

$\begin{align*} \Bigint \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^3 dx = \Bigint \frac{x^2}{1}\ \cdot\ \frac{1}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2} \ \cdot\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx = \Bigint \frac{1-u^2}{u^2}\ du \end{align*}$

Wobei im mittleren Teil der erste Faktor durch 1-u^2 ersetzt wird und der Rest ist 1/u^2. Alles Klar? Musst nun nur noch aufteilen - einmal kannste wunderbar kürzen und einzeln integrieren - geht doch so nebenbei, oder , tja und dann halt noch das Ergebnis auf einen Bruchstrich bringen und Resubstituieren.

Mit Sinus bzw. Kosinus geht das ganze STRAIGHTFORWORD Augenzwinkern

Einfach einsetzen Ableitung beachten und dabei im Hinterkopf haben, dass $\begin{align*} sin^2 x = 1 - cos^2 x \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} cos^2 x = 1 - sin^2 x \end{align*}$ je nachdem was du gerade brauchst.

Noch eine Hilfe gefällig... na gut das ERGEBNIS:

$\begin{align*} F(x)=\frac{2-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}$

Ich hoffe bloß, dass ich mich da auf die Schnelle nicht verrechnet habe verwirrt

Happy Mathing

28.03.2004, 21:36

Bandobras

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Also bis zu dem Punkt wo du den Bruch auseinander ziehst komm ich... aber wie kommst du bei dem Rest auf 1/u^2 ? ich komm da irgendwie eher auf sqrt(1-u^2)/u^3...
....................................
ne.. ich glaub ich habs... hab vergessen das das 'dx' quasi zu nem 'u / sqrt(1-u^2) du' wird

Keine Doppelposts smile

Es gibt da so ne süße Taste die heißt EDIT smile

28.03.2004, 23:42

Drödel

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Jo genau. Das dx darfste nicht vergessen. Vielleicht hier mal die laaange Variante Augenzwinkern

Du substituierst:

$\begin{align*} u(x):=\sqrt{1-x^2} \qquad \Rightarrow \qquad u'(x)= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}$

Daher gilt:

$\begin{align*} u'(x) dx = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = du \end{align*}$ - woher fragst du gilt das? Naja Augenzwinkern

deswegen: $\begin{align*} u'(x)=\frac{du}{dx} \end{align*}$ daher u'(x) dx = du

So dann nehmen wir uns das Integral (halt nochmal) vor:

$\begin{align*} \Bigint \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^3 dx = \Bigint \frac{x^2}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2} \ \cdot\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \Bigint \frac{1-u^2}{u^2}\ du \end{align*}$

Erster Faktor im mittleren Integral ergibt den Integranden des rechten Integrals (wobei hier x^2 =1-u^2 ausgenutzt wird) und der rechte Faktor des mittleren Integrals ist gleich du.

Ists so besser? Augenzwinkern

Happy Mathing

29.03.2004, 08:41

Bandobras

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Jau.... ich Dank dir.. ist ja eigentlich nicht so schwer, hatte nur gestern voll das Brett vorm Kopf Augenzwinkern

Alles klar jetzt

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Substitution... was auch sonst...

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