Fourierreihe

22.09.2005, 18:14

Rotzlucky

Fourierreihe

Hi zusammen,

sitz gerade in der Prüfungsvorbereitung, versuch mich zum ersten Mal an Fourierreihen!
Als Aufgabenstellung soll die reele Fourierreihe angegeben werden für:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\mid t \mid \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\leq \pi \end{eqnarray*}$

Welche dann ausserhalb von $\begin{eqnarray*} [-\pi ,\pi] \end{eqnarray*}$ periodisch fortgesetzt wird.

Das ganze wird dann ausgedrückt als:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{a0}{2}+ \sum_{n=1}^ \infty~(an~cos(nt)+bn~sin(nt)) \end{eqnarray*}$

Beim Berrechnen der Koeffizienten stört mich jetzt das Betragszeichen, also hab ich das ganze umgewandelt als:

$\begin{eqnarray*} a0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~dt=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} an=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~cos(nt)~dt \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} an=0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade $\begin{eqnarray*} an=\frac{-2}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} bn=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~sin(nt)~dt \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} bn=0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade $\begin{eqnarray*} bn=\frac{-4}{n} \end{eqnarray*}$

Würde also heißen ich hätte abwechselnd Sinus und Cosinus in meiner Reihe
Laut Formelbuch(Bartsch) ist die Reihe aber:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{h}{2}-\frac{4h}{\pi^2}(\frac{1}{1^2}\cos(x)+ \frac{1}{3^2}\cos(3x)+ \frac{1}{5^2}\cos(5x)...) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in meinem Fall ja $\begin{eqnarray*} h=\pi \end{eqnarray*}$ ist.

Darin erkenn ich meine Loeffizienten leider nicht wieder. Wurde da noch irgend ne Umformung gemacht, aber wo sind dann die Sinus-Terme
Wäre schön wenn jemand mal drüber gucken kann ob ich irgendwo nen Fehler habe oder was vergessen wurde.

Vielen Dank

Rotzlucky

22.09.2005, 18:40

sqrt(2)

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RE: Fourierreihe

Zitat:

Original von Rotzlucky
$\begin{eqnarray*} a0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~dt=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

Erstens hast du dich hier verrechnet, und zweitens betrachtest du nur das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ . Da die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kannst du das machen, aber nur, wenn du den Wert hinterher auch verdoppelst.

Zitat:

Original von Rotzlucky
$\begin{eqnarray*} an=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~cos(nt)~dt \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} an=0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade $\begin{eqnarray*} an=\frac{-2}{n^2} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig, wenn man den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$ nicht berücksichtigt.

Zitat:

Original von Rotzlucky
$\begin{eqnarray*} bn=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~sin(nt)~dt \end{eqnarray*}$

Das darfst du hier nicht machen, denn der Sinus ist nicht achsensymmetrisch! Du musst $\begin{eqnarray*} [-\pi,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ einzeln betrachten. Du wirst übrigens auf ein Ergebnis kommen, dass für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ bei allen geraden Funktionen das gleiche ist.

22.09.2005, 19:35

Rotzlucky

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Danke erstmal für die Hilfe

Ich dacht ich hätte das bei a0 verdoppelt! Die Ursprungsgleichung wäre doch:

$\begin{eqnarray*} a0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}~|t|~dt \end{eqnarray*}$

und bei mir

$\begin{eqnarray*} a0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~dt \end{eqnarray*}$

oder etwa nicht?

Meinen Rechenfehler hab ich gefunden, hab jetzt $\begin{eqnarray*} a0=\pi \end{eqnarray*}$

Okay, an war richtig hast du gesagt
bn hab ich jetzt nochmal berechnet und krieg jetzt

für n gerade: $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{n} \end{eqnarray*}$
für n ungerade: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$
mit der Gleichung:
$\begin{eqnarray*} bn=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}~t~sin(nt)~dt + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~sin(nt)~dt \end{eqnarray*}$

Aber dann hät ich ja immernoch SinusTerme in der Reihe, oder versteh ich da was falsch?
Das sah alles so einfach aus. Nur einsetzen ausrechnen, gut, aber nö!!!

22.09.2005, 19:49

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Rotzlucky
Ich dacht ich hätte das bei a0 verdoppelt!

Ja, hast du auch, ich habe mich von dem Ergebnis, das du herausbekommen hast, etwas verwirren lassen.

Zitat:

Original von Rotzlucky
Meinen Rechenfehler hab ich gefunden, hab jetzt $\begin{eqnarray*} a0=\pi \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

Zitat:

Original von Rotzlucky
Okay, an war richtig hast du gesagt

Nein, hab ich nicht. Ich hab gesagt, es ist richtig, wenn man den Vorfaktor weglässt. Der gehört aber dazu.

Zitat:

Original von Rotzlucky
bn hab ich jetzt nochmal berechnet und krieg jetzt

für n gerade: $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{n} \end{eqnarray*}$
für n ungerade: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

Das ist auch falsch. Poste mal deinen Rechenweg.

22.09.2005, 20:18

Rotzlucky

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Also Rechenweg für bn

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}~t~sin(nt)~dt + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~sin(nt)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{n\pi}[cos(nt)~t]_{-\pi}^0 +\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{0}~cos(nt)~dt +\frac{-1}{n\pi}[cos(nt)~t]_{0}^\pi +\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}~cos(nt)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{n\pi}(cos(-n\pi)~\pi) +\frac{1}{n^2}[sin(nt)]_{-\pi}^0 +\frac{-1}{n\pi}(cos(n\pi)~\pi) +\frac{1}{n^2}[sin(nt)]_{0}^\pi \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} sin(nt) \end{eqnarray*}$ ja immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Bleibt also:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{n\pi}(cos(-n\pi)~\pi) +\frac{-1}{n\pi}(cos(n\pi)~\pi) \end{eqnarray*}$

Das wird zu

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{n}(cos(-n\pi)) +\frac{-1}{n}(cos(n\pi)) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ beim cosinus ja gleich sind hab ich dann

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{n}(cos(n\pi)) \end{eqnarray*}$

Hab keine Ahnung wo da mein Fehler steckt.

Und für an brauch ich nochmal nen Tip we ich das dann rechne. Ergibt sich aber vielleicht aus meinem Fehler bei bn

Gruß Rotzlucky

22.09.2005, 20:23

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Rotzlucky
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}~t~sin(nt)~dt + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}~t~sin(nt)~dt \end{eqnarray*}$

Das ist schon falsch. Für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |t|=-t \end{eqnarray*}$ .

22.09.2005, 20:48

Rotzlucky

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Also wenn ich das einsetze krieg ich bn=0
Das wäre ja dann richtig,oder?

Aber bei an steh ich jetzt noch etwas auf dem Schlauch
mein Grundansatz stimmt der jetzt so oder nicht?

$\begin{eqnarray*} an=\frac{2}{\pi}\int_{o}^\pi~t~cos(nt)~dt \end{eqnarray*}$

Sorry wenn ich mich grad blöd anstelle, aber ich häng wohl schon zu lange an Mathe

22.09.2005, 21:05

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Rotzlucky
Also wenn ich das einsetze krieg ich bn=0
Das wäre ja dann richtig,oder?

Ja. Und das ist bei allen geraden Funktionen (also solchen, die zur y-Achse achsensymmetrisch sind) so.

Zitat:

Original von Rotzlucky
mein Grundansatz stimmt der jetzt so oder nicht?

$\begin{eqnarray*} an=\frac{2}{\pi}\int_{o}^\pi~t~cos(nt)~dt \end{eqnarray*}$

Das ist schon richtig, richtig ist auch

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi~t\cos(nt)~\dd t=\begin{cases}-\frac{2}{n^2}&n\text{ ungerade}\\0&n\text{ gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Gesucht war aber

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi~t\cos(nt)~\dd t=\begin{cases}-\frac{4}{\pi n^2}&n\text{ ungerade}\\0&n\text{ gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

22.09.2005, 21:33

Rotzlucky

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Ah jetzt ist's klar, hab vergessen das nach der partiellen Integration
ne Klammer um

$\begin{eqnarray*} [t~sin(nt)~\frac{1}{n}]_{0}^\pi - \int_{0}^{\pi}~\frac{1}{n}~sin(nt)~dt \end{eqnarray*}$

steht, hab den vorfaktor immer mit dem linken Integral verrechnet und dann war der null.
Aber kann ich nicht den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ aus dem vorderen Teil rausziehen, dann hät ich doch als neuen Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n\pi} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

und als Lösung dann für n ungerade $\begin{eqnarray*} \frac{-4}{\pi~n^3} \end{eqnarray*}$

22.09.2005, 21:49

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Rotzlucky
Aber kann ich nicht den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ aus dem vorderen Teil rausziehen,

Kannst du.

Zitat:

Original von Rotzlucky
dann hät ich doch als neuen Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n\pi} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Nicht als Vorfaktor für das ganze Integral, dazu müsstest du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ auch aus dem hinteren Teil herausziehen.

Zitat:

Original von Rotzlucky
und als Lösung dann für n ungerade $\begin{eqnarray*} \frac{-4}{\pi~n^3} \end{eqnarray*}$

Wenn du den Vorfaktor wirklich aus allen Summanden herausziehst, erhältst du $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{\pi n^2} \end{eqnarray*}$ , andernfalls hast du noch einmal genau denselben Fehler gemacht, wie vorhin mit dem Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$ , nur andersherum: du hast ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ davor gerettet mit null multipilizert zu werden, obwohl es damit multipliziert werden sollte.

22.09.2005, 21:55

Rotzlucky

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Oh man, wie blöd, klar hast recht!
Jetzt hab ichs verstanden, Vielen Dank für deine Hilfe

Rotzlucky

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