Komplexe Zahlen

22.09.2005, 22:02

MrPSI

Komplexe Zahlen

Hi,

ich hab mal ne Frage zu den komplexen Zahlen.

Es gilt ja z.B. $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ , aber die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$ gilt nicht, da sie zu Widersprüchen führt.
Stimmt es dann, wenn ich sage, dass die Regel $\begin{eqnarray*} x^n=y <=> x=\sqrt[n]{y} \end{eqnarray*}$ bei komplexen Zahlen nicht mehr gilt?

23.09.2005, 00:06

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$
führt zu keinen widersprüchen, dass ist richtig
problem aber: die wurzel ist in den komplexen zahlen NICHT eindeutig

aber da können dir andere mehr darüber sagen (leopold, arthur, ....)

23.09.2005, 12:06

MrPSI

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Zitat:

Original von LOED
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$
führt zu keinen widersprüchen, dass ist richtig
problem aber: die wurzel ist in den komplexen zahlen NICHT eindeutig

also mit "nicht eindeutig" meinst du wohl, dass das Ergebnis aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ sowohl i als auch -i sein kann.

aber wieso führt das nicht zu widersprüchen???
in sqrt(2)'s Signatur ist ja ein Beispiel enthalten.

23.09.2005, 12:23

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$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[n]{t} \end{eqnarray*}$ ist im komplexen mehr als n-elementige Lösungsmenge der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n=t \end{eqnarray*}$ aufzufassen. Die Potenzgesetze gelten dann i.a. nicht mehr, höchstens noch in einer Art Mengensinn:

Wenn $\begin{eqnarray*} k=\mathrm{kgV}(m,n) \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{u}\cdot\sqrt[n]{v} = \sqrt[k]{u^{\frac{k}{m}}\cdot v^{\frac{k}{n}}} \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{1} = \{ 1, -1, i, -i \}, \sqrt{9} = \{ 3, -3 \}, \sqrt[4]{81} = \{ 3, -3, 3i, -3i \} \end{eqnarray*}$

Und tatsächlich ist, alle Produkt-Kombinationen berücksichtigt, $\begin{eqnarray*} \{ 1, -1, i, -i \} \cdot \{ 3, -3 \} = \{ 3, -3, 3i, -3i \} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Habe den "Dreher" $\begin{eqnarray*} t^n=x \end{eqnarray*}$ korrigiert. Danke, therisen!

29.09.2005, 18:05

MrPSI

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Zitat:

ist im komplexen mehr als n-elementige Lösungsmenge der Gleichung aufzufassen.

mehr als n-elementige Lösungsmenge?
Kannst du mir da ein Beispiel nennen.

29.09.2005, 18:51

therisen

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[n]{t} \end{eqnarray*}$ ist im komplexen mehr als n-elementige Lösungsmenge der Gleichung $\begin{eqnarray*} t^n=x \end{eqnarray*}$ aufzufassen.

Hast du da nicht einen kleinen "Dreher" drin? Es müsste doch $\begin{eqnarray*} x^n=t \end{eqnarray*}$ heißen.

Zu der "n-elementige Lösungsmenge" siehe der [Workshop] Komplexe Zahlen

Kurz: Es gibt n mögliche Werte für die n.te Wurzel aus einer komplexen Zahl... Im reellen (vor allem der Analysis) beschränkt man sich ja gerne auf den positiven "Zweig", d.h. die Wurzel aus einer reellen Zahl ist immer größer als 0. Ansonsten gibt es eine 2-elementige Lösungsmenge, z.B. für x^2=4 die Werte x=2 und x=-2... Also L={-2, 2}.

Gruß, therisen

29.09.2005, 18:56

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Ja, ein Dreher. Hammer

Hab's korrigiert.

29.09.2005, 20:12

MrPSI

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aber wieso gelten im komplexen deswegen die Potenzgesetze nicht mehr? im Reellen hat man doch auch n-elementige Lösungsmengen und trotzdem gelten die Potenzgesetze.

29.09.2005, 20:37

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Zitat:

Original von MrPSI
aber wieso gelten im komplexen deswegen die Potenzgesetze nicht mehr?

Ich verstehe deine Frage nicht: Wenn man zeigen will, dass etwas nicht gilt, genügen Gegenbeispiele. Und die haben wir doch bereits erörtert, oder brauchst du noch mehr?

29.09.2005, 22:18

MrPSI

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o.k. ich versuchs mal so:

ich würde auch gerne deine Schlussfolgerung von "n-elementiger Lösungsmenge im Komplexen" zu "Nicht-Gelten der Potenzgesetze (ausgenommen Mengensinn)" nachvollziehen.

ich glaub es hier wieder mal ein "Danke vielmals!!!" fällig, da ihr mir über einige Stolpersteine hinweghelft. smile

30.09.2005, 02:47

Steve_FL

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Hallo.

Kleines Beispiel meinerseits:
(das hat nicht direkt mit dem von Arthur Dent geschriebenen Argument zu tun, aber mir hats dazumal geholfen, zu verstehen, dass solche Dinge nicht mehr gelten):

Wenn:
$\begin{eqnarray*} i = \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$
dann kann man ja folgende Folgerungen ( Augenzwinkern

) anstellen:
$\begin{eqnarray*} -1 = i^2 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1 \end{eqnarray*}$

und dass -1 = 1 gilt, wollen wir nun nicht annehmen :p

Hoffe, das hilft dir ein wenig weiter. Arthur kann dir aber bestimmt noch mehr dazu erzählen.

mfg

30.09.2005, 08:54

pimaniac

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Noch ein anderes Argument

Überlegs dir mit den reelen Zahlen

Es gilt

5=sqrt(25)

aber auch -5=sqrt(25)

--> 5^2=25 ist eindeutig richtig, aber daraus sqrt(25)=5 abzuleiten problematisch weil ja sonst einer mit sowas daher kommen könnt

5=sqrt(25)=-5 also 5=-5

Hoff dir ist klar wie man das auf das Problem mit den komplexen ZAhlen umlegen kann

30.09.2005, 13:05

MrPSI

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aha, aufgrund des Widerspruchs im Beispiel von Steve_Fl kann man annehmen, dass die Potenzgesetze im Komplexen nicht gelten können.

@pimaniac:

hat man im Reellen dieses Problem nicht damit gelöst, dass die Wurzel einmal als eine Funktion mit positiver Zuordnung und beim anderen als Funktion mit negativer Zuordnung dargestellt wird? Das wären dann zwei verschieden Funktionen und damit gilt auch 5 ungleich -5.

Das gleiche gilt auch im Komplexen:
$\begin{eqnarray*} i^2=(-i)^2=-1 \end{eqnarray*}$
denn,
$\begin{eqnarray*} (-i)^2=(-1)^2*i^2=1*(-1)=-1 \end{eqnarray*}$
Wenn man jetzt aus der ersten Formel die Wurzel zieht, so kann man sie als Funktion mit positiver oder auch mit negativer Zuordnung sehen.

30.09.2005, 13:55

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Das Problem ist im Komplexen die Definition der Potenz $\begin{eqnarray*} z^{\alpha} \end{eqnarray*}$ . Ich unterscheide mal vier qualitativ besondere Fälle:

(1) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist reell ganzzahlig.

(2) Die nächste Stufe ist reell rational, aber nicht ganzzahlig, d.h. $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} q\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist.

(3) Noch eine Stufe weiter gehen irrational reelle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

(4) Schließlich und endlich kann man auch noch "echt" komplexe $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ betrachten, also mit Imaginärteil ungleich Null.

Allen Fällen gemein ist erstmal die Definition $\begin{eqnarray*} z^{\alpha} := \exp \left\{ \mathrm{Ln}(z) \cdot \alpha \right\} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist aber der Logarithmus einer komplexen Zahl mehrwertig:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Ln}(z) = \left\{ \ln|z|+i[\arg(z) + 2k\pi] \bigm| k\in\mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray*}$

(Ich schreibe $\begin{eqnarray*} \mathrm{Ln} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ , um diese Menge deutlich vom "Hauptwert" $\begin{eqnarray*} \ln(z) \end{eqnarray*}$ abzugrenzen. Letzterer entspricht dem Wert im Logarithmuszweig $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ .)

Was bedeutet diese Definition nun für den Wert bzw. die Werte (!) von $\begin{eqnarray*} z^{\alpha} \end{eqnarray*}$ in den einzelnen Fällen:

(1) Es ergibt sich nur ein Wert für $\begin{eqnarray*} z^{\alpha} \end{eqnarray*}$ , und zwar wegen $\begin{eqnarray*} \exp\left\{ i\cdot 2k\pi\alpha \right\}=1 \end{eqnarray*}$ für alle k. Man kann dann auch rechnen wie im Reellen, die Potenzgesetze gelten - kurzum, alles ist im Lot.

(2) Es ergeben sich genau $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Werte, die betragsmäßig einander gleich sind, und im Argumentwinkel $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{q} \end{eqnarray*}$ versetzt zueinander angeordnet sind.

(3) Es ergeben sich abzählbar unendlich viele Werte, die aber zumindest betragsmäßig einander gleich sind. Die dabei auftretenden Argumente liegen dicht im Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ . Als Plot ergibt sich somit scheinbar der gesamte Kreis um den Ursprung mit Radius $\begin{eqnarray*} |z|^{\alpha} \end{eqnarray*}$ - aber eben nur scheinbar, denn es sind nur abzählbar unendlich viele Punkte!

(4) Auch hier sind es abzählbar unendlich viele Werte, die aber nicht mal mehr betragsmäßig einander gleich sind. Sie liegen auch nicht mehr dicht, sondern isoliert in der komplexen Zahlenebene.

Ziemlich verrückt, wenn man das zum ersten Mal hört, oder? smile

Wenn man das ganze eindeutig haben will, dann beschränkt man sich auf den Hauptwert der Potenz $\begin{eqnarray*} z^{\alpha} \end{eqnarray*}$ , das ist der, wo der Hauptwert des Logarithmus eingesetzt wird (also k=0). Aber außer im Fall (1) hat man dann eben keine Gültigkeit der Potenzgesetze mehr.

30.09.2005, 14:54

MrPSI

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wow, ein bisschen hart für jemanden der sich gerade in die komplexen Zahlen eingelesen hat.
Aber danke, dass du das so detailliert gemacht hast. Buschmann

Sobald ich mich tiefer in die komplexen Zahlen vorgearbeitet hab, les ich mir das nochmal durch, weil ich jetzt noch nicht in der Lage bin, es zu verstehen. Hammer

03.01.2006, 18:26

MrPSI

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Jetzt, wo ich wieder ein wenig Zeit habe, befass ich mich wieder mit meiner alten Frage hier und hab schon ein Problem:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Es ergibt sich nur ein Wert für $\begin{eqnarray*} z^{\alpha} \end{eqnarray*}$ , und zwar wegen $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot 2\pi k \alpha}=1 \end{eqnarray*}$

Ich hab nicht nur ein Problem damit, dass da immer 1 als Wert rauskommt, sondern auch, dass dann nach der Definition der Potenz einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} Ln(z)=i \cdot 2\pi k \end{eqnarray*}$ sein müsste, und deswegem wiederum $\begin{eqnarray*} ln(z) \, und \, arg(z) \end{eqnarray*}$ 0 sein müssten, obwohl z ja beliebig ist.
Kann mir das jemand bitte näher erklären?

21.04.2006, 21:33

MrPSI

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Vergesst die obige Frage, sie ist ziemlich blöd gestellt.

@Arthur Dent
ich verstehe nicht, wie du auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot 2k\pi \alpha}=1 \end{eqnarray*}$ kommst.
Wenn ich die Definition $\begin{eqnarray*} z^{\alpha}:=e^{Ln(z) \cdot \alpha} \end{eqnarray*}$ und die Gleichung $\begin{eqnarray*} Ln(z)=ln|z|+i\cdot (arg(z)+2k\pi) \end{eqnarray*}$ hernehme und das Ganze dann vereinige zu $\begin{eqnarray*} z^{\alpha}=e^{[ln|z|+i\cdot (arg(z)+2k\pi)] \cdot \alpha} \end{eqnarray*}$ , dann sieht das deiner Gleichung gar nicht ähnlich. unglücklich

Die zweite Möglichkeit wäre die Exponentialform, was aber meiner Meinung auch nicht richtig vermutet ist, weil dann vor dem $\begin{eqnarray*} e^{i \Phi} \end{eqnarray*}$ der Betrag der komplexen Zahl fehlt und ich es sowieso merkwürdig finde, dass eine Exponentialform eine ganze Zahl als Ergebnis hat, wenn es doch um beliebige komplexe Zahlen handelt.

Könntest du mir also bitte sagen, wie du auf die Gleichung gekommen bist, oder wenigstens nen Ansatz geben?
Wäre sehr dankbar dafür smile

22.04.2006, 08:05

Lazarus

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Wenn ich darf Antworte ich mal darauf.
Auf die Gleichung kommt Arthur daher:
$\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{i}\,\varphi} = \cos (\varphi)+ \mathrm {i} \sin(\varphi) \end{eqnarray*}$
Die Eulersche Indentität.
Sie bildet den Zusammenhang zwischen Polarer und Exponentialer Darstellung.
Für $\begin{eqnarray*} \varphi=\pi \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{i}\,\pi} = \cos (\pi)+ \mathrm {i} \sin(\pi)=-1 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} e^{i \cdot 2k\pi \alpha} = \left(e^{i 2\pi}\right)^{k\alpha}=1^{k\alpha}=1 \end{eqnarray*}$

Deine andere Frage verstehe ich leider nicht...

servus

22.04.2006, 11:46

MrPSI

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Zitat:

Original von Lazarus
Für $\begin{eqnarray*} \varphi=\pi \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann

Wieso setzt du $\begin{eqnarray*} \varphi=\pi \end{eqnarray*}$ ? Ich dachte, z kann auch eine "echt" komplexe Zahl, also mit Imaginärteil ungleich 0, sein.

22.04.2006, 11:53

Calvin

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Zitat:

Original von Lazarus
Für $\begin{eqnarray*} \varphi=\pi \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{i}\,\pi} = \cos (\pi)+ \mathrm {i} \sin(\pi)=1 \end{eqnarray*}$

Da fehlt dir noch ein Minuszeichen. $\begin{eqnarray*} \cos\pi=-1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

22.04.2006, 12:44

Lazarus

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@Calvin, ja stimmt, hab minus vergessen. werds wegmachen.

@MrPSI: $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist der Winkel, unter dem der Betrag r erscheint. Das ist bekannt oder ?

22.04.2006, 13:37

MrPSI

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ja, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der Winkel ist unter dem der Betrag r erscheint, ist mir durchaus bewusst.
Und was soll mir diese Info bringen? verwirrt

Betrag und Winkel stehen ja in keinem Zusammenhang.

22.10.2006, 21:15

MrPSI

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Mir lässt das Thema einfach keine Ruhe...

1) habe ich mir nochmal angeschaut und diesmal verstanden, denn es ist
$\begin{eqnarray*} z^\alpha = \exp \left\{ (\ln |z| + i (\arg(z) + 2\pi k)) \cdot \alpha \right\} \\ = \exp \left\{ \ln(z) \cdot \alpha \right\} \cdot \exp \left\{i \arg(z) \cdot \alpha \right\} \cdot \underbrace{\exp \left\{i \cdot 2 \pi k \alpha \right\} }_{=1} \\ = |z|^\alpha \cdot \exp \left\{i \cdot \alpha \arg(z) \right\} \end{eqnarray*}$

2) ist leicht zu verstehen, wenn man sich den Punkt "Radifizieren" bei Mathematik.ch ansieht.

Aber bei 3) und 4) hapert es noch:

Wieso gibt es bei 3) nur abzählbar unendlich viele Werte? Hängt das damit zusammen, dass irrationale $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durch eine Folge von rationalen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ angenähert werden und diese Folge nur abzählbar unendliche viele Glieder enthält?

Und bei 4) verstehe ich überhaupt nicht, wie man auf sowas kommt.

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