Substitutionsregel Beispiel

02.04.2008, 12:26

w!cked

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Substitutionsregel Beispiel

Das folgende Integral soll berechnet werden.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{ln2}~\frac{e^x-1}{e^x+1} ~dx \end{eqnarray*}$

Gelöst werden soll dies (nach Lösung) mit Substitution von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ durch t.

Für mich würde das dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{ln2}~\frac{t-1}{t+1} ~dt \end{eqnarray*}$

Tatsächlich sieht es nach der Substitution aber so aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~\frac{t-1}{(t+1)t} ~dt \end{eqnarray*}$

Fragen:

1. Wieso haben sich die Integrationsgrenzen geändert und wieso nehmen sie nun die Werte 1 und 2 an?

2. Wieso taucht noch ein t im Nenner auf ?

Ich habe drei Analysis-Bücher und mein Script durchwälzt, werde aber aus der Substitutionsregel nicht schlau und kann den Schritt nicht nachvollziehen...:-/

02.04.2008, 12:28

Dual Space

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RE: Substitutionsregel Beispiel
Zu 1.: Weil man die Intergartionsgrenzen bei diesem Lösungsvorschlag mit substituiert hat.

Zu 2.: Weil dx nicht gleich dt ist, wenn man e^x=t setzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.04.2008, 12:32

w!cked

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dx=dt/t steht noch bei der Substitution. Gilt das immer oder nur eingeschränkt?

Wieso können die Integrationsgrenzen einfach so substituiert werden? Ich erkenne vor allem keine Analogie zu den ursprünglichen Grenzen?

02.04.2008, 12:35

klarsoweit

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RE: Substitutionsregel Beispiel

Zitat:

Original von w!cked
Ich habe drei Analysis-Bücher und mein Script durchwälzt, werde aber aus der Substitutionsregel nicht schlau und kann den Schritt nicht nachvollziehen...:-/

Kaum zu glauben. unglücklich

unglücklich

Also hier die Substitutionsregel:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Das sollte alle Fragen beantworten. smile

smile

02.04.2008, 12:37

w!cked

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Ja, wirklich kaum zu glauben :-( Ich probiere nochmal ganz stumpf, die Formel auf die gegebene Rechnung anzuwenden, mal gucken....

02.04.2008, 12:57

w!cked

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Es fällt mir einfach schwer die Formel auf das Beispiel zu übertragen. Es ist das erste mal das ich mich mit Hochschulmathematik auseinandersetze und zudem probiere ich mir Analysis und Lineare Algebra in den Semesterferien einzuverleiben ohne die Vorlesung gehört zu haben. Viele Sachen werden mir erst klar wenn ich das einmal auf ein paar Beispiele übertragen habe, wenn ich mir darüber nicht den Kopf zerbrechen würde ich hier nicht posten...

Für mich ist f(x) die ursprüngliche Funktion, aber was ist mein g(x)? f(t) ist entsprechend meine Ursprungsfunktion nach der Substitution ?!?

Ich blicke es einfach nicht....

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02.04.2008, 13:06

kiste

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Das ist die Regel für die Substitution t = g(x).
In deinem Beispiel fehlt das $\begin{eqnarray*} \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$ im ursprünglichen Integral, also muss dadurch dividiert werden.

Und das ist eigentlich Schulmathematik Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.04.2008, 13:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von w!cked
Für mich ist f(x) die ursprüngliche Funktion, aber was ist mein g(x)? f(t) ist entsprechend meine Ursprungsfunktion nach der Substitution ?!?

Genau genommen ist f(g(x))*g'(x) die ursprüngliche Funktion. Wenn nun f(t) die Funktion nach der Substitution ist, also $\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{t-1}{(t+1)t} \end{eqnarray*}$ , dann solltest du sagen können, was g(x) ist.

EDIT: ich lasse das erstmal in Hochschulmathe. Das Thema scheint ja irgendwie daher zu kommen.

02.04.2008, 13:38

w!cked

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Ist g(x) dann $\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{e^x+1} \end{eqnarray*}$ ?

02.04.2008, 13:45

kiste

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rätst du? und hast du meinen Beitrag gelesen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja wenn du dir mit dem g(x) so sicher bist dann setze es doch einmal für t ein, vllt. kommt ja das ursprüngliche dabei heraus

02.04.2008, 13:46

w!cked

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Ja, ein bisschen. Habe hier auch schon die interessantesten Rechnungen auf Papier geführt. Ich bin ein wenig frustriert da ich da nicht dahintersteige, werde es nochmal probieren...

Okay, du schreibst t=g(x). Da t in diesem Fall für $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ substituiert wird wäre demnach g(x)= $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ?

02.04.2008, 13:48

kiste

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Dann zitiere ich mich eben nocheinmal selbst.

Zitat:

Original von kiste
Das ist die Regel für die Substitution t = g(x).

02.04.2008, 13:53

w!cked

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Habs nochmal editiert, siehe einen Beitrag weiter oben.

02.04.2008, 13:59

kiste

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Ja jetzt stimmt es. Jetzt musst du noch $\begin{eqnarray*} f(g(x)) \end{eqnarray*}$ bestimmen wenn du weißt das $\begin{eqnarray*} f(g(x)) \cdot g'(x) = f(g(x)) \cdot e^x = \frac{e^x-1}{e^x+1} \end{eqnarray*}$ gilt

02.04.2008, 14:18

w!cked

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f(g(x)) ist demnach = $\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{e^x+1} * \frac{1}{e^x} = \frac{e^x-1}{(e^x+1)e^x} \end{eqnarray*}$ .

Das würde dann erklären warum es nach der Substitution entsprechend $\begin{eqnarray*} \frac{t-1}{(t+1)t} \end{eqnarray*}$ ergibt.

Wenn dem so wäre bleibt mir nur die Frage, wie ich denn von meiner Ausgangsituation darauf komme, $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ als mein g(x) festzulegen. Einfach aufgrund der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ substituiert werden soll? Dann könnte ich für die zukünftige Verwendung der Formel daraus schlussfolgern, dass mein g(x) immer der Term ist, der substituiert wird?

Da die Integrationsgrenzen jetzt entsprechend g(0) und g(ln2) sind, ergibt das als Zahlenwert dann $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^(ln2)=2 \end{eqnarray*}$ ....

02.04.2008, 14:20

kiste

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Alles korrekt und die Antwort auf beide Frage ist ja Freude

Freude

02.04.2008, 14:26

klarsoweit

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Um das ganze nochmal im Zusammenhang zu erläutern:

Im Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{ln2}~\frac{e^x-1}{e^x+1} ~dx \end{eqnarray*}$ sieht man, daß das x nur im Zusammenhang mit der e-Funktion steht. Daher ist die Idee $\begin{eqnarray*} e^x = t \end{eqnarray*}$ zu substituieren. Um sich nicht die für manche komplizierte Substitutionsregel zu merken, macht man jetzt folgendes:

Als erstes bestimmt man $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} = t'(x) = e^x \end{eqnarray*}$ .

Das stellt man nach dx um: $\begin{eqnarray*} dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man x und dx im ursprünglichen Integral ersetzen.
Fehlen noch die Integrationsgrenzen. Dazu überlegen wir, daß im ursprünglichen Integral das Integral bei x=0 beginnt. Also ist im neuen Integral die untere Grenze $\begin{eqnarray*} t_u = t(0) = e^0 = 1 \end{eqnarray*}$ . Analog für die obere Grenze. Alles klar? smile

smile

02.04.2008, 14:43

w!cked

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Ja es sieht so aus als wenn ich da jetzt durchsteige. Ich werde jetzt diverse Aufgaben weiterrechnen, vielleicht stoße ich ja auf eine weitere heute wo man das anwenden muss. Ansonsten suche ich mir vielleicht gegen Abend noch extra eine raus und schaue ob's klappt.

02.04.2008, 15:58

w!cked

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Da auch Partialbruchzerlegung neu für mich ist habe ich die Aufgabe mal zu Ende gerechnet:

Nun brauche ich also eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} \frac{t-1}{(t+1)t} \end{eqnarray*}$ , um das Integral berechnen zu können.

Ich habe jetzt einfach mal (nachdem ich mir diverse Beispiele zur PBZ angeguckt habe) folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{t-1}{(t+1)t} = \frac{a}{t+1} + \frac{b}{t} = \frac{(a+b)t+b}{(t+1)t} = \frac{2}{t+1} + \frac{-1}{t} \end{eqnarray*}$

Ergo brauche ich eine Stammfunktion zu

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{2}{t+1} + \frac{-1}{t}~dt \end{eqnarray*}$

und die ist nach den Regeln der Integration dann folgende:

2ln(t+1)-ln(t) + c

Resubstituiere ich nun, habe ich

$\begin{eqnarray*} 2ln(e^x +1)-ln(e^x ) + c \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2ln(e^x +1)-x + c \end{eqnarray*}$

Hier nun eine kleine Verständnisfrage: Wenn ich die resubstituierte Variante nehme, wende ich diese auch wieder auf die "ursprünglichen" Integrationsgrenzen an. Damit komme ich auf das richtige Ergebnis von:

2(ln)3-3ln(2)

Hätte ich jetzt die Stammfunktion verwendet in der t steht, müsste ich die errechneten Integrationsgrenzen von 1 und 2 anwenden und dennoch auf das selbe Ergebnis kommen, oder?

Zudem habe ich bei der Partialbruchzerlegung einfach mal in zwei Brüche mit den Zählern a und b (siehe oben) zerlegt, da es zwei Nullstellen zu t(+1)t gibt (t=0,t=-1). Ist das der richtige Weg oder habe ich einfach Glück gehabt?

02.04.2008, 16:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von w!cked
Hätte ich jetzt die Stammfunktion verwendet in der t steht, müsste ich die errechneten Integrationsgrenzen von 1 und 2 anwenden und dennoch auf das selbe Ergebnis kommen, oder?

Ja.

Zitat:

Original von w!cked
Zudem habe ich bei der Partialbruchzerlegung einfach mal in zwei Brüche mit den Zählern a und b (siehe oben) zerlegt, da es zwei Nullstellen zu t(+1)t gibt (t=0,t=-1). Ist das der richtige Weg oder habe ich einfach Glück gehabt?

Solange der Nenner nur einfache Nullstellen hat, ist das der richtige Weg. Bei mehrfachen Nullstellen muß ein gemäß den Regeln der PBZ erweiterter Ansatz verwendet werden.

02.04.2008, 16:14

w!cked

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Ok, soweit klar. Das mit den mehrfachen Nullstellen habe ich soweit auch schon gelesen, vielleicht stoße ich diesbezüglich noch auf eine Klausuraufgabe. Danke!

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