Laplace

23.09.2005, 14:26	Clausthaler	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace Sei $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} t \rightarrow f(at) \end{eqnarray}$ (wie kriegt man den Pfeil mit nem senkrechten Strich an der linken Seite hin?) Wie kann man $\begin{eqnarray} Lf_a \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} Lf \end{eqnarray}$ ausdrücken? (wie geht das Laplacezeichen??) Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} (Lf_a)(s)= \int_{0}^{+\infty }~ f(at)e^{-st}~dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (Lf)(s)= \int_{0}^{+\infty }~ f(t)e^{-st}~dt \end{eqnarray}$ Aber jetzt weiß ich nicht weiter...... edit: LaTeX-Codes verbessert. (MSS)
23.09.2005, 14:28	Clausthaler	Auf diesen Beitrag antworten »
oh mist, das latex zeugs... da müsst stehen: Wie kann man $\begin{eqnarray} L(f_a)(s) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} L(f)(s) \end{eqnarray}$ ausdrücken.
23.09.2005, 15:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, Parameter a ist positiv. Dann substituiere doch mal z=a*t .
23.09.2005, 22:10	Clausthaler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace Also ich versuchs mal mit z=at Die Integrationsgrenzen verschieben sich dann zu a0=0 und a-unendlich=-unendlich, oder?? Ich hab das jetzt hauptsächlich geraten, woher weiß man denn wie sich die Grenzen verschieben? Wie kann man das ausrechnen? dz/dt=(at)'=a $\begin{eqnarray} (Lf_a)(s)= \int_{0}^{+\infty }~ f(at)e^{-st}~dt=\int_{0}^{-\infty }~ f(z)e^{-sza^{-1}}a^{-1}~dz \end{eqnarray}$ ???? stimmt das so, wie gehts nun weiter?
23.09.2005, 23:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ als obere Integrationsgrenze bei positivem a? Halten wir mal fest $\begin{eqnarray} (Lf_a)(s) = \int\limits_{0}^{+\infty }~ f(at) \exp\left\{ -st\right \} ~ \mathrm{d}t = \frac{1}{a} \int\limits_{0}^{\infty } ~ f(z) \exp\left\{ -\frac{s}{a}\,z \right\} ~ \mathrm{d}z \end{eqnarray}$ Und das kannst du doch jetzt mit $\begin{eqnarray} Lf \end{eqnarray}$ darstellen! Du darfst dich natürlich nicht auf $\begin{eqnarray} (Lf)(s) \end{eqnarray}$ versteifen, sondern musst auch an andere Argumente denken.
24.09.2005, 19:51	Clausthaler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (Lf_a)(s)=1/a(Lf)(s/a) \end{eqnarray*}$ Etwa so?? Kannman es nicht vermeiden, dass man da s/a stehen hat? Bei der Grenze hab ich mich vertan, aber kannst du trotzdem mal was dazu schreiben wie man die Grenzen immer errechnen kann, im Moment rate ich die irgendwie immer
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24.09.2005, 20:04	Integro	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitutionsregel: $\begin{eqnarray} \int \limits_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) \mathrm{d} x = \int \limits_a^b f(\phi(t))\phi'(t) \mathrm{d} t \end{eqnarray}$

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