allg. Beweis Varianz

23.09.2005, 18:23	morph	Auf diesen Beitrag antworten »
allg. Beweis Varianz hallo, ich hab in letzter zeit mal den erwartungswert und die varianz mit Hilfe des binomischen lehrsatzes bewiesen. Nun wollte ich mal versuchen das ganze noch allgemeiner zu beweisen, sprich: summe (k=0 bis n) von (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k) * (k-my)^n ich hab keine ahnung wie ich den letzten ausdruck vereinfachen könnte um zu einem ergebnis zu kommen. falls jemand eine idee hat, wäre nett wenn ihrs mir schreibt. danke schonma bye morph
23.09.2005, 18:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst wohl eher das $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ -te zentrale Moment $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X-\mu)^r = \sum_{k=0}^{n} ~ {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \cdot (k-\mu)^r \end{eqnarray}$ einer $\begin{eqnarray} B(n,p) \end{eqnarray}$ -Binomialverteilung. Na dann viel Spaß, schon das Finden einer geschlossenen Darstellung für beliebige $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ dürfte eine Herausforderung sein. Die Frage ist, warum du dir das für allgemeine $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ überhaupt antun willst. $\begin{eqnarray} r=3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r=4 \end{eqnarray}$ besitzen ja noch eine gewisse Bedeutung, aber darüber hinaus ...
23.09.2005, 19:10	morph	Auf diesen Beitrag antworten »
joa stimmt....ich dachte auch eigentlich nich, dass das so schwer ist. für r=3 und 4 is es ja auch net so schwer...dass is nur unwesentlich umfangreicher als mit r=2. mit r=n wäre nur mal interesssant ob das von bedeutung ist, sei mal in de hintergrund gestellt.
23.09.2005, 19:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du leidensfähig bist, kannst du ja auch folgende Alternative probieren: $\begin{eqnarray} X\sim B(n,p) \end{eqnarray}$ lässt sich auch als Summe $\begin{eqnarray} X=Y_1+\cdots+Y_n \end{eqnarray}$ mit unabhängig identisch zweipunktverteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} Y_k\sim B(1,p) \end{eqnarray}$ darstellen, d.h. solchen mit $\begin{eqnarray} P(Y_k=0)=1-p,\,P(Y_k=1)=p \end{eqnarray}$ . Da berechnet man ziemlich schnell $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(Y^m)=p \end{eqnarray}$ und kann $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X-\mu)^r = \mathbb{E}(Y_1+\cdots+Y_n-\mu)^r \end{eqnarray}$ ausmultiplizieren und einsetzen, natürlich auch noch $\begin{eqnarray} \mu=np \end{eqnarray}$ eingesetzt. Na dann, viel Spaß!
23.09.2005, 19:17	morph	Auf diesen Beitrag antworten »
das hab ich jetzt leider nich ganz kapiert, kannst du das nochma vereinfacht erklären. oder kurz die ersten schritte aufschreiben. wäre sehr nett, danke
23.09.2005, 19:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir grad überlegt, besser ist noch die Darstellung $\begin{eqnarray} X=Z_1+\cdots+Z_n \end{eqnarray}$ mit unabhängig identisch zweipunktverteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} Z_k=Y_k-p \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} P(Z_k=-p)=1-p,\,P(Z_k=1-p)=p \end{eqnarray}$ . Da gilt dann $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(Z_k^m) = (1-p)(-p)^m+p(1-p)^m = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; m=0\\ 0 & \;\mbox{für}\; m=1\\ p(1-p)[(1-p)^{m-1}-(-p)^{m-1}] & \;\mbox{für}\; m\geq 2\end{cases} \end{eqnarray}$ Es folgt $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X-np)^r = \mathbb{E}(Z_1+\cdots+Z_n)^r \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} r=2 \end{eqnarray}$ ist dann z.B. wegen $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(Z_k^2) = p(1-p)[(1-p)^1-(-p)^1] = p(1-p) \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X-np)^2 = \sum_{k=1}^n ~ \mathbb{E}Z_k^2 + 2\sum_{1\leq k<j\leq n}^n ~ \mathbb{E}Z_k~ \mathbb{E}Z_j = \sum_{k=1}^n ~ \mathbb{E}Z_k^2 =n\cdot p(1-p) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} r=3 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(Z^3) = p(1-p)[(1-p)^2-(-p)^2] = p(1-p)(1-2p) \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X-np)^3 = \sum_{k=1}^n ~ \mathbb{E}Z_k^3 + \cdots = \sum_{k=1}^n ~ \mathbb{E}Z_k^3 =np(1-p)(1-2p) \end{eqnarray}$ Hier klappt das noch sehr schön mit den $\begin{eqnarray} \cdots \end{eqnarray}$ , die nur Nullen enthalten. Ab $\begin{eqnarray} r=4 \end{eqnarray}$ ist das leider nicht mehr so.
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24.09.2005, 18:08	morph	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, ich probier mal weiter. danke erstma für die mühe. mfg morph

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