Grundlegender Beweiß zur Quadrierung einer Funktion

23.09.2005, 20:32

Heyho

Grundlegender Beweiß zur Quadrierung einer Funktion

Ich hoffe die Überschrift ist halbwegs sinnvoll gewählt, wenn nicht tut es mir Leid. :P

Die Aufgabenstellung lautet:

"Beweise allgemein: Eine Funktion f hat an der Stelle K ein Maximum und
$\begin{eqnarray*} f ( K ) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: f² hat an der gleichen Stelle K ein Minimum."

Geometrisch verstehe ich den Zusammenhang, da sich bei einer Quadrierung ja die Vorzeichen immer ins positive ändern und sich so auch das Unendlichkeitsverhalten ins positive kehren müsste. Daraus würde dann ein Tiefpunkt resultieren.

Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ein solcher Beweiß ausschauen sollte. Bin für jede Hilfe dankbar. smile

gruß
Heyho

23.09.2005, 20:55

therisen

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Es wäre ganz hilfreich, wenn du uns deinen Hintergrund verraten würdest. Schule, Uni, Sonstiges?

Für die Schule musst du diese anschauliche Begründung ein klein wenig mathematisch aufpeppen und schon bist du fertig.

Gruß, therisen

23.09.2005, 22:01

Heyho

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Hintergrund: 12 gk Klasse an einem Gymnasium

Das mit dem aufpeppen ist schwerer als du vielleicht denkst. ^^

gruß
Heyho

23.09.2005, 22:11

therisen

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Schreib doch einfach einmal (mathematisch) auf, was für Eigenschaften die Funktion f hat. Allein aus den Bedingugen, die hier gegeben sind. z.b. f'(K)=0.

24.09.2005, 10:04

Heyho

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$\begin{eqnarray*} f(K)\leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(K) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(K)< 0 \end{eqnarray*}$

Nunja das sollen die Bedingungen für die Funktion f sein, die an der Stelle K ein Maximum hat. Wenn f Quadriert wird, gilt die letzte natürlich nicht mehr, dann muss es heißen:

$\begin{eqnarray*} f''(K)² > 0 \end{eqnarray*}$

Aber was sagt mir das jetzt? traurig

gruß
Heyho

24.09.2005, 10:43

therisen

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Hi,

wie wäre es noch mit

$\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \text{ für } x<K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 \text{ für } x>K \end{eqnarray*}$

Vorzeichenwechsel!

Die Funktion f steigt also erst bis zu der Stelle x=K und fällt anschließend.... Was kannst du also für die Vorzeichen von f für x<K und x>K (zumindest in unmittelbarer Nähe) aussagen?

Gruß, therisen

24.09.2005, 13:21

Heyho

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Die Vorzeichen bei der Ursprungsfunktion f kann ich doch gar nicht erahnen...?

Ich weiß natürlich auf Grund der Symmetrie das:

$\begin{eqnarray*} f(x) < f(K) | X<K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) < f(K) | X>K \end{eqnarray*}$

Aber, wie soll ich auf die Vorzeichen schließen?

In der 1. Ableitungsfunktion hast du natürlich Recht, hier gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(X) > 0 | X<K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(X) < 0 | X>K \end{eqnarray*}$

Wenn nun f quadriert wird, müsste sich die Bedingung ja ändern, denn da würde gelten:

$\begin{eqnarray*} f'(X) < 0 | X<K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(X) > 0 | X>K \end{eqnarray*}$

Ansonsten fällt mir im Moment nichts ein.... unglücklich

gruß
Heyho

24.09.2005, 15:08

therisen

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Zitat:

Original von Heyho
Die Vorzeichen bei der Ursprungsfunktion f kann ich doch gar nicht erahnen...?

Ich weiß natürlich auf Grund der Symmetrie das:

$\begin{eqnarray*} f(x) < f(K) | X<K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) < f(K) | X>K \end{eqnarray*}$

Aber, wie soll ich auf die Vorzeichen schließen?

Doch, kannst du. Was hat das mit Symmetrie zu tun?

Es gilt aber wie du richtig gesagt hast:

$\begin{eqnarray*} f(x) < f(K) \text{ für gewisse }x<K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) < f(K) \text{ für gewisse }x>K \end{eqnarray*}$

Es gilt aber auch $\begin{eqnarray*} f(K) \leq 0 \end{eqnarray*}$ , wie du oben gesagt hast und damit auf Grund der Transitivität:

$\begin{eqnarray*} f(x) < f(K) \leq 0 \text{ für gewisse }x<K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) < f(K) \leq 0 \text{ für gewisse }x>K \end{eqnarray*}$

Alles klar?

Gruß, therisen

24.09.2005, 16:43

Heyho

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Omg bin ich blöd, du hast natürlich Recht, die Vorzeichen von den

$\begin{eqnarray*} f(x) | X>K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) | X<K \end{eqnarray*}$

sind natürlich negativ.

Ich bin mir nicht 100% sicher, ob ich es jetzt verstanden habe, aber durch die Quadration von f steigen ja auch die Y-Werte Quadratisch an, also:

$\begin{eqnarray*} - f(x) \cdot -f(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

Damit "rutschen" die Y-Wete von den X'en in den positiven Bereich. f(K) bleibt jedoch im negativen.

Jetzt würde gelten:

$\begin{eqnarray*} f(X)> f(K) | X>K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(X)< f(K) | X<K \end{eqnarray*}$

Also liegt nun ein Minimum vor. Hab ichs richtig verstanden?

gruß
Heyho

24.09.2005, 18:05

Heyho

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So falsch? verwirrt

24.09.2005, 18:50

therisen

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Zitat:

Original von Heyho
Ich bin mir nicht 100% sicher, ob ich es jetzt verstanden habe, aber durch die Quadration von f steigen ja auch die Y-Werte Quadratisch an, also:

Warum "auch"? Was steigt denn noch quadratisch an?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} - f(x) \cdot -f(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl eher sowas wie $\begin{eqnarray*} - f(x) \cdot -f(x) = f^2(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Damit "rutschen" die Y-Wete von den X'en in den positiven Bereich. f(K) bleibt jedoch im negativen.

Ist denn f(K) kein "y-Wert" Augenzwinkern

? Nur wenn f(K)=0 verändert sich nichts! Ansonsten wird f(K) sehr wohl positiv!

Zitat:

Jetzt würde gelten:

$\begin{eqnarray*} f(X)> f(K) | X>K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(X)< f(K) | X<K \end{eqnarray*}$

Es gilt nun $\begin{eqnarray*} f^2(x)>f^2(K) \end{eqnarray*}$ für gewisse x<K, x>K. Also liegt an f^2(K) ein Minimum vor.

Gruß, therisen

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