Bruchgleichung

23.09.2005, 23:22

Era

Bruchgleichung

So mal wieder ein Problem mit einer Gleichung.
$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{1-x}-\frac{2}{x-1}=\frac{2x²-6}{1-x²}-\frac{8}{x+1} \end{eqnarray*}$ Dann hab ich erstmal $\begin{eqnarray*} |+\frac{8}{x+1},-\frac{2x}{1-x} \end{eqnarray*}$ damit ich mit dem KgV rechnen kann.
Sieht dann so aus.
$\begin{eqnarray*} \frac{8}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{2x²-6}{(1-x)(1+x)}-\frac{2x}{1-x} \end{eqnarray*}$
Dann auf KgV bringen.
$\begin{eqnarray*} \frac{8(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x²-6-2x(1+x)}{(1-x)(1+x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{8x-8-2x-2}{x²-1}=\frac{2x²-6-2x²-2x}{1-x²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{6x-10}{x²-1}=\frac{-2x-6}{1-x²} \end{eqnarray*}$
Jetzt mal die beiden Nenner.
$\begin{eqnarray*} \frac{(6x-10)(1-x²)(x²-1)}{x²-1}=\frac{(-2x-6)(1-x²)(x²-1)}{1-x²} \end{eqnarray*}$ kürzen
$\begin{eqnarray*} (6x-10)(1-x²)=(-2x-6)(x²-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x-6x³-10+10x²=-2x³+2x-6x²+6|+2x³,-2x,+6x²,+10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x-4x³+16x²=16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x(1-x²+4x)=16|:4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(1-x²+4x)=4 \end{eqnarray*}$

So und weiter komme ich nicht. Laut Lösung muss x=4 sein aber ich weiss da einfach nicht weiter.

23.09.2005, 23:53

babelfish

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wie wärs wenn du hier:

$\begin{eqnarray*} -4*x^3+16*x^2+4*x=16 \end{eqnarray*}$

ansetzt, indem du erst noch die 16 rüberholst (also eine 0=... form schaffst), dann eine nullstelle errätst und danach polynomdivision durchführst. so solltest du insgemsamt auf 3 ergebnisse für x kommen...

23.09.2005, 23:58

JochenX

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RE: Bruchgleichung

Zitat:

Original von Era
$\begin{eqnarray*} \frac{6x-10}{x²-1}=\frac{-2x-6}{1-x²} \end{eqnarray*}$
Jetzt mal die beiden Nenner.

keine ahnung, ob da fehler sind, aber den letzten schritt solltest du wirklich überdenken!

erstens sind die beiden nenner FAST gleich
zweitens: wann ist ein bruch mit gleichem nenner gleich dem anderen?

24.09.2005, 00:02

babelfish

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irgendwie weiß ich grad mal net, worauf du hinauswillst, loeds...

sie hat doch im nächsten schritt einfach beide seiten mit (x^2-1)*(1-x^2) multipliziert... müsste doch eigentlich stimmen... verwirrt

24.09.2005, 00:09

gugelhupf

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LOADS, ja. maaaaaaaan.

24.09.2005, 00:17

JochenX

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hallo fisch:

1) was ist denn der hauptnenner? ist der wirklich (x^2-1)*(1-x^2)?
WOHL KAUM
einfach beide seiten mal den hauptnenner und die gleichung bleibt viel schöner!
2) durch das multiplizieren so entstehen 2 scheinlösungen, die nachher wegfallen (wenn man an der richtigen stelle den defintionsbereich bestimmt hat)

24.09.2005, 09:05

Era

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Also den Ansatz von Babel habe ich verstanden.

$\begin{eqnarray*} (-4x³+16x²+4x-16) : (x:1)=-4x²+20x-16 \end{eqnarray*}$

Dann mit pq-Formel x1=4, x2=-1
Und da bei -1 und 1 keine reele Lösung rauskommt ist x=4.

@Loed: Beide Nenner gleich?
Also ist
$\begin{eqnarray*} \frac{-2x-6}{1-x²} = \frac{2x+6}{x²-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x-10=2x+6 \end{eqnarray*}$
usw.. x=4
Ahha danke, aber darauf muss man ja erst kommen (nach ca 1 Stunde) Augenzwinkern

24.09.2005, 11:38

babelfish

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@loed: jetzt weiß ich, was du meintest... hatte dich erst so verstanden, dass das, was sie gemacht hat gänzlich falsch wäre - aber mit dem richtigen def.bereich kommt man ja auch so auf die lösung!

allerdings fällt bei deiner methode doch auch noch eine lösung weg, oder?
schließlich sind die nenner nicht ganz gleich, wie era das jetzt gemacht hat (warum auch immer da jetzt ebenfalls das richtige ergebnis rauskommt... verwirrt

)...

24.09.2005, 16:07

JochenX

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die nenner unterscheiden sich durch ein popliges -
durch eine mutliplikation mit (x^2-1) zuviel entstehen eben die scheinlösungen x=1 und x=-1, die ich nicht bekomme

24.09.2005, 16:50

babelfish

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aaaah, jetzt weiß ich endlich, was du meinst! Big Laugh

hatte an noch ne andere vorgehensweise gedacht, wo man nur noch hätte eine lösung ausschließen müssen...

aber so gehts natürlich am einfachsten! smile

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