n-dim objekt schneidet (n+1)-dim

03.04.2008, 09:55

Zeno-2

n-dim objekt schneidet (n+1)-dim

Hallo!

In einem anderen Forum hat jemand geschrieben:

"jeder n-Dimensionale Raum teilt jeden n+1-Dimensionalen Raum in exakt 2 Teile.
Also der Punkt teilt die Gerade,die Gerade die Ebene, die Ebene den
3D Raum und so weiter.

Ich meine mich daran zu erinnern, daß diese scheinbar triviale Aussage
nicht stimmt, daß es für höherdimensionale Räume nicht so simpel ist.
Kann mir aber nicht die Buzzwords zurechtreimen, um es zu ergooglen.
Vielleicht liege ich auch völlig falsch!

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

03.04.2008, 10:20

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Zitat:

Original von Zeno-2
"jeder n-Dimensionale Raum [...]

Wenn ich mich nicht täusche, spricht man da genauer von n-dimensionalen Hyperebenen. Für einen gegebenen Normalenvektor $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{R}^{n+1},n\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist das die Hyperebene

$\begin{eqnarray*} H = \Big\{ x\in \mathbb{R}^{n+1} \Bigm| n\cdot x = 0 \Big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ist hierbei das euklidische Skalarprodukt. Die beiden Teilräume (exklusiv der Trennebene) beiderseits der Hyperebene sind dann

$\begin{eqnarray*} H_+ = \Big\{ x\in \mathbb{R}^{n+1} \Bigm| n\cdot x > 0 \Big\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} H_- = \Big\{ x\in \mathbb{R}^{n+1} \Bigm| n\cdot x < 0 \Big\} \end{eqnarray*}$ .

03.04.2008, 11:12

Dual Space

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RE: n-dim objekt schneidet (n+1)-dim
Was Arthur sagen will ist, dass

Zitat:

Original von Zeno-2
Jeder n-Dimensionale Raum teilt jeden n+1-Dimensionalen Raum in exakt 2 Teile.

vollkommen korrekt ist.

03.04.2008, 11:14

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Gute Ergänzung. Big Laugh