Taylorpolynom der Umkehrfunktion

03.04.2008, 20:33

Martin_ER

Taylorpolynom der Umkehrfunktion

Hallo,

ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor und habe bei alten Klausuraufgaben das hier gefunden:

http://img241.imageshack.us/img241/3517/m2vo4.jpg

Die Taylorformel versteh ich und kann ich bei "normalen" Aufgaben auch anwenden. Nur scheiterts hier bei der Umkehrfunktion. Hier im Forum habe ich etwas von LambertW gelesen, was mir aber gar nix sagt und mich noch mehr verwirrt. Gibt es denn keine einfach Möglichkeit, diese Aufgaben zu lösen bzw. einfach auf die Umkehrfunktion zu kommen?

Beste Grüße,
Martin

04.04.2008, 01:13

lego

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ich bin mir jetzt nicht mehr ganz sicher, ob das hier hilft, ist schon länger her, dass ich das gelernt habe, aber es gibt etwas, das meist als: "differentation der umkehrfunktion" bezeichnet wird, glaub auch im königsberger

vielleicht googlest du mal danach, oder evtl habt ihrs eh gelernt und jetzt ist der groschen gefallen...

04.04.2008, 10:56

Martin_ER

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Die Regel haben wir leider nicht behandelt, aber hab gute Erklärungen gefunden, für den Fall, dass die Umkehrfunktion bekannt ist. Damit lässt sich dann die Ableitung der Umkehrfunktion ausrechnen, soweit ich das verstanden habe.
Nur hab ich die ja leider nicht bzw. komm nicht drauf.....hilfe =/

04.04.2008, 11:14

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Für die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gibt es ja die Ableitungsregel

$\begin{eqnarray*} g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))} \end{eqnarray*}$ ,

die wird schon an der Schule gelehrt. Mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x+e^x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1+e^x \end{eqnarray*}$ ergibt das

$\begin{eqnarray*} g'(y) = \frac{1}{1+e^{g(y)}}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Basierend darauf kannst du nun auch die höheren Ableitungen von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bestimmen (Achtung: Kettenregel!).

Zitat:

Original von Martin_ER
für den Fall, dass die Umkehrfunktion bekannt ist.

Nein: Letztendlich brauchst du für Taylor KEINE explizite Darstellung der gesamten Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , sondern nur die Ableitungswerte an der Stelle $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ , und dort ist $\begin{eqnarray*} g(1)=0 \end{eqnarray*}$ , das kannst du dann zur konkreten Berechnung aller Ableitungswerte $\begin{eqnarray*} g^{(k)}(1) \end{eqnarray*}$ mittels (*) sowie dessen Ableitungen nutzen.

Das ist doch gerade der Witz dieser Aufgabe, dass man die explizite Darstellung der Umkehrfunktion nicht hat (und mit "normalen" Funktionen auch gar nicht haben kann, weil es die hier nicht gibt).

04.04.2008, 11:48

Martin_ER

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Vielen Dank! Hat mir sehr geholfen! Kann die Aufgabe jetzt lösen.
Eine Frage hätte ich trotzdem noch: Wie hast du dir den Funktionswert g(y=1) überlegt? Würde das jetzt über die Ursprungsfunktion durch Ausprobieren versuchen, aber geht das auch eleganter? Wahrscheinlich nicht, weil die Umkehrfunktion x=g(y) nicht gegeben ist?!

Gruß Martin

04.04.2008, 12:16

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Naja, $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ springt sofort ins Auge. Und damit ist $\begin{eqnarray*} g(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

Also gewissermaßen Probieren, so ist es. Augenzwinkern

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