Satz über teilbarkeit

03.04.2008, 20:43

mathe760

Satz über teilbarkeit

Hallo,

Ich brauche einen Ansatz für folgende Aufgabe:

Sei eine Zahl n durch paarweise teilerfremde Zahlen $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3,...,p_m \end{eqnarray*}$ ungleich null teilbar.

Behauptung: Dann ist n auch durch $\begin{eqnarray*} p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot...\cdot p_m \end{eqnarray*}$ teilbar.

Beweis: Wir nehmen an, dass n nicht durch $\begin{eqnarray*} p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot...\cdot p_m \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

So ist das soweit richtig mit dem Ansatz des indirekten Beweises?
Wenn ja wie geht es weiter? Soll Ich einfach ausnutzen das alle $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ n ohne rest teilen also in der Form $\begin{eqnarray*} k_i\cdot p_i \end{eqnarray*}$ darstellbar ist, mit $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ aus N und dann eine Gleichungskette gemäß meiner Annahme erstellen und dies dann auf einen Widerspruch führen?
Wenn ja wie genau kann ich das machen, wenn nein wie kann ich denn weiter vorgehen?

Ich hoffe auf eure Tipps.

Bis denn mathe760 Wink

03.04.2008, 20:48

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RE: Satz über teilbarkeit
Es gibt sicher verschiedene Beweisvarianten, je nach "Vorwissen" (im Sinne: was du eben schon verwenden darfst).

Ich würde eher auf die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufbauen und dann nutzen, dass teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen Primteiler besitzen dürfen.

EDIT: Da fällt mir gerade was auf, deine Voraussetzung

Zitat:

Original von mathe760
Sei eine Zahl n durch teilerfremde Zahlen $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3,...,p_n \end{eqnarray*}$ ungleich null teilbar.

ist nicht ausreichend: Es muss hier heißen paarweise teilerfremd, ansonsten ist deine Satzaussage falsch!!!

So sind z.B. die Zahlen 6,10,15 durchaus teilerfremd, aber nicht paarweise teilerfremd. Und auf n=30 trifft deine Behauptung ja dann nicht zu. Augenzwinkern

03.04.2008, 21:18

mathe760

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Habe es gerade editiert Arthur Dent

Zu dem Thema was ich Verwenden darf: Ich darf alles verwenden was mir einfällt, da ich mir die Aufgabe selbst gestellt habe smile

Ich finde deine Idee gut und werde sie gleich mal ausprobieren Augenzwinkern

Wie sieht denn eigentlich die allgemeine Primfaktorzerlegung von n aus?
Du meinst doch um mal ein Beispiel zu machen mit n=360:

$\begin{eqnarray*} 360=2^3\cdot 3^2\cdot 5 \end{eqnarray*}$

Meinst du mit Primteiler bei meinem Beispiel z.B $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ oder nur die 2?

Und noch was: Ich habe die Aufgabe ja selbst gestellt, meinst du das $\begin{eqnarray*} p_i\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein muss oder sollte $\begin{eqnarray*} p_i\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ oder gar N?

Vielen dank für den Tipp smile

Bis denn mathe760 Wink

03.04.2008, 21:23

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Zitat:

Original von mathe760
Meinst du mit Primteiler bei meinem Beispiel z.B $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ oder nur die 2?

Primteiler sind nur Primzahlen. Letztendlich müssen im Beweis natürlich solche Primzahlpotenzen betrachtet werden. Ich hab von Primteilern oben nur in dem Zusammenhang gesprochen: Das teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen besitzen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von mathe760
meinst du das $\begin{eqnarray*} p_i\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein muss oder sollte $\begin{eqnarray*} p_i\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Was willst du denn unter Teilbarkeit bei reellen Zahlen verstehen??? Ich rede von natürlichen Zahlen. Für ganze Zahlen lässt es sich dann auch noch erweitern, aber da sind noch ein paar Zusatzbetrachtungen eher technischer Art notwendig.

03.04.2008, 21:35

mathe760

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Ok dann ist ja alles geklärt smile

Dann versuche ich mich jetzt mal an den Beweis, ich werde ihn dann vllt. hier posten.

Bis denn mathe760 Wink

04.04.2008, 15:08

mathe760

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RE: Satz über teilbarkeit

Zitat:

Original von Arthur Dent

Ich würde eher auf die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufbauen und dann nutzen, dass teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen Primteiler besitzen dürfen.

Ähm mir ist da noch was eingefallen, wie kann ich n denn bitte als primfaktorzerlegung darstellen, wenn ich noch nicht einmal einen konkreten Zahlenwert für n habe?
Geht es so:

$\begin{eqnarray*} q_1\cdot q_2\cdot q_3\cdot ...\cdot q_m=n \end{eqnarray*}$ ?

wobei die q_i die primfaktoren darstellen?
Wenn Ja wie kann ich das dann genau im Beweis benutzen?
Wenn Nein wie kann n denn sonst dargestellt werden?

\Edit: Hat der Satz eigentlich einen Namen bekommen?

Bis denn mathe760 Wink

04.04.2008, 15:16

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Bevor ich weiterrede:

Entscheide dich mal, wofür bei dir das Symbol $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ steht - für die Anzahl der Teiler, oder für die Zahl, die diese Teiler haben soll.

Momentan verwendest du das Symbol doppelt, da solltest du mal zwei verschiedene Symbole draus machen...

04.04.2008, 15:40

mathe760

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Sorry das 2te meine ich, wo verwende ich das denn doppelt?

Bis denn mathe760 Wink

04.04.2008, 15:47

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Zitat:

Original von mathe760
$\begin{eqnarray*} q_1\cdot q_2\cdot q_3\cdot ...\cdot q_n=n \end{eqnarray*}$

Links steht ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Index, rechts dasselbe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Produkt, ähnlich oben schon im Eröffnungsbeitrag. Das ist doch nicht etwa Absicht? geschockt

04.04.2008, 15:51

mathe760

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Das ist natürlich unabsichtliche Schlamperei von mir, ich werde es dann gleich mal editieren unglücklich

Aber noch mal zurück zu meinem letzten Post, kannst du mir diese Fragen beantworten?

Bis denn mathe760 Wink

04.04.2008, 16:44

WebFritzi

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Ich würde da mit vollst. Induktion nach m rangehen...

04.04.2008, 18:48

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Meine Beweisskizze wäre etwa so:

Man betrachte einen beliebigen Primteiler $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p:=p_1\cdot \ldots \cdot p_m \end{eqnarray*}$ , der sei in Potenz $\begin{eqnarray*} q^r \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ enthalten (das bedeutet: $\begin{eqnarray*} q^r | p \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} q^{r+1} \not| p \end{eqnarray*}$ ).

Dann muss $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ auch Teiler einer der Faktoren $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots,p_m \end{eqnarray*}$ sein, dies sei $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ . Aus der paarweisen Teilerfremdheit von $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots,p_m \end{eqnarray*}$ folgt sofort, dass dann $\begin{eqnarray*} q \not| p_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\neq k \end{eqnarray*}$ , und dass deshalb sogar $\begin{eqnarray*} q^r | p_k \end{eqnarray*}$ gelten muss. Wegen $\begin{eqnarray*} p_k | n \end{eqnarray*}$ hat dies wiederum $\begin{eqnarray*} q^r | n \end{eqnarray*}$ zur Folge.

Da man das für jeden Primteiler $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ in seiner jeweils höchsten Potenz machen kann, ist die gesamte Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ vollständig in der von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ enthalten, d.h. $\begin{eqnarray*} p | n \end{eqnarray*}$ .

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Ist wahrscheinlich etwas umständlich, aber ich wollte auf "möglichst wenig" aufbauen. Selbstverständlich habe ich dabei Sachen benutzt (z.B. Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung), die für sich wiederum gar nicht so trivial sind, wie sie auf den ersten Blick erscheinen mögen. Aber wenn ich bei Null in der Zahlentheorie anfangen wollte, würde das einige Seiten dauern, bis man diesen Beweis hier fertig hat...

05.04.2008, 20:00

mathe760

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Vielen Dank Arthur ich lese mir das noch mal in aller Ruhe durch und versuche es nachzuvollziehen. smile

Bis denn mathe760 Wink

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