Herleitung und Beweis des Satzes von Vieta und dem Kehrsatz

04.04.2008, 09:16

Berias

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Herleitung und Beweis des Satzes von Vieta und dem Kehrsatz

Guten Morgen,
ich suche eine möglichst ausführliche Herleitung und einen Beweis für den Satz von Vieta und seinen Kehrsatz.
Google und Wikipedia spucken nichts gescheihtes aus, das meiste ist sehr stark verkürzt.
Für alle die nicht wissen was dieser Satz besagt:
Er besagt dass in einer quadratischen Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} x²+px+q=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p = -(x1 + x2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = x1*x2 \end{eqnarray*}$
gilt.

Möglichst ausführlich sollten die Herleitung und der Beweis nicht sein, weil ich schwer von Begriff bin, sondern weil ich das ganze dem Rest der Klasse möglichst verständlich beibringen muss.

PS: Eine Herleitung für die pq-Formel wäre auch nicht schlecht, da wir bisher quadratische Gleichungen mit der abc-Formel gelöst haben.

Vielen Dank schonmal im Vorraus.

04.04.2008, 09:37

klarsoweit

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RE: Herleitung und Beweis des Satzes von Vieta und dem Kehrsatz
Wenn x_1 und x_2 Lösungen der quadratischen Gleichung sind, dann gilt offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere das aus und vergleiche das mit der quadratischen Gleichung.

04.04.2008, 09:58

Berias

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Könntest du mir das ein bisschen näher erklären?
Ich komme da auf $\begin{eqnarray*} x²-x*x2-x*x1-x1*x2=0 \end{eqnarray*}$
Vielen Dank für die schnelle Antwort, trotz dieser ungünstigen Zeit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.04.2008, 10:05

klarsoweit

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RE: Herleitung und Beweis des Satzes von Vieta und dem Kehrsatz
Du hast da einen Vorzeichenfehler eingebaut.

Wenn du das korrigiert hast, vergleiche das mal mit $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$ . Was ist dann p bzw. q?

04.04.2008, 10:22

Berias

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Oh, Flüchtigkeitsfehler. smile

smile

kk, jetzt habe ich:
$\begin{eqnarray*} x²-x*x2-x*x1+x1*x2 \end{eqnarray*}$
Was mir zeigt dass q=x1*x2 sein müsste.
Müsste dann nicht $\begin{eqnarray*} -x*x2-x*x1=p \end{eqnarray*}$ sein?

04.04.2008, 10:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Berias
Müsste dann nicht $\begin{eqnarray*} -x*x2-x*x1=p \end{eqnarray*}$ sein?

Nein. p ist der Faktor vor dem x. Klammere also in $\begin{eqnarray*} -x*x2-x*x1 \end{eqnarray*}$ das x aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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04.04.2008, 10:53

Berias

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Also $\begin{eqnarray*} x(1*\frac{x2}{x}-1*\frac{x1}{x}) \end{eqnarray*}$ ?

04.04.2008, 11:07

klarsoweit

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unglücklich

Wenn du das wieder ausmultiplizierst, müßte $\begin{eqnarray*} -x*x2-x*x1 \end{eqnarray*}$ rauskommen.

04.04.2008, 11:21

Berias

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Ist das nicht der Sinn des Ausklammerns, dass nach dem Ausmultiplizieren wieder das gleiche herauskommt? verwirrt

verwirrt

Wie bist du überhaupt auf die allererste Gleichung gekommen?

04.04.2008, 11:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Berias
Ist das nicht der Sinn des Ausklammerns, dass nach dem Ausmultiplizieren wieder das gleiche herauskommt? verwirrt

verwirrt

Eben. Und das tut es offensichtlich nicht.

Zitat:

Original von Berias
Wie bist du überhaupt auf die allererste Gleichung gekommen?

Angenommen x_1 und x_2 sind Lösungen einer quadratischen Gleichung, dann lösen sie ja auch die Gleichung $\begin{eqnarray*} (x-x_1) \cdot (x-x_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , die ja auch eine quadratische Gleichung darstellt.

04.04.2008, 11:45

Berias

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ok, habe es jetzt soweit verstanden, aber wie mache ich den anderen am besten klar dass $\begin{eqnarray*} (x-x_1) \cdot (x-x_2) = 0 \end{eqnarray*}$ eine quadratische Gleichung ist?
Man sieht es ja nicht direkt auf den ersten Blick.

04.04.2008, 12:40

klarsoweit

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Aber spätestens nach dem Ausmultiplizieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.04.2008, 12:52

Berias

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smile

Jetzt muss ich nur noch einen Beweis für den Satz und einen Beweis für den Kehrsatz aufstellen...ich denke da werden sich noch viele Fragen auftun, vielen Dank für die schnelle Hilfe. Mit Zunge

Mit Zunge

24.04.2008, 15:51

mindless

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hey,

obwohl ja heute der "mädchen zukunftstag" oder whatever ist, bräuchte ich mal mathematische hilfe.
undzwar bräuchte ich den beweis des kehrsatzes von vieta, den ich selbst hier nicht finde.
der fängt ja so an:

x“ - (x_1 + x_2) * x + x_1 * x_2 = 0

da mir die zeit drängt, wär's mir lieb, wenn irgend jemand das für mich auflösen könnte. ich guck auch ganz lieb :-)
viiielen lieben dank schon mal im voraus!

24.04.2008, 15:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von mindless
x“ - (x_1 + x_2) * x + x_1 * x_2 = 0

Offensichtlich hast du dir die vorstehenden Beiträge nicht durchgelesen. Man kann obige Gleichung leicht umformen in
$\begin{eqnarray*} (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 \end{eqnarray*}$
und da die Lösungen ablesen.

24.04.2008, 21:55

chocolate4ever

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hey ich hatte selbst so meine Probleme mit Vieta und habe drüber ne Präsentation gehalten.
vllt hilft dir ja
diese Seite in bisschen weiter.

lg chocolate

02.06.2010, 11:47

Goldbaaaeeer

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hallo
ich muss ebenfalls eine präsentation über den Satz von Vieta halten, aber ich verstehe nicht wie man von einer quadratischen Gleichung auf diese Formel kommt:
(x-x1)*(x-x2)
wisst ich muss dass meiner klasse so gut wie möglich rüberbringen und wenn ich dass nicht versteh geht das ja schlecht
bitte schickt so schnell wie möglich eine Antwort
lg Goldbaaaeeer

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