lösung von 2 gleichungen und 3 variablen

04.04.2008, 11:09

dittodhole

lösung von 2 gleichungen und 3 variablen

mahlzeit!
folgende sache ... bin ja schon nicht mehr schüler, aber letztens ist mir folgendes system untergekommen und aus jux wollte ich es lösen:

$\begin{eqnarray*} M + F + K = 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4M + F/2 + K/4 = 20 \end{eqnarray*}$

Bedinungen:
$\begin{eqnarray*} M \ge 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F \ge 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K \ge 1 \end{eqnarray*}$

Das ganze hat aber nicht so wirklich hingehauen ... höchstwahrscheinlich gehe ich an die sache falsch ran ...

Die Lösung habe ich aber schon durch Realisierung dieses Systems in C# gefunden:
M = 3
F = 15
K = 2

nur wie löse ich das per hand?

04.04.2008, 11:17

Auf diesen Beitrag antworten »

Das System ist unterbestimmt, d.h., hat unendlich viele Lösungen. Kann es sein, dass es dir gar nicht primär um das lineare Gleichungssystem geht, sondern um eine lineare Optimierungsaufgabe, mit der dieses Gleichungssystem zusammenhängt?

04.04.2008, 11:26

dittodhole

Auf diesen Beitrag antworten »

und wenn ich die bedingung
$\begin{eqnarray*} M \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
hinzufüge?

naja ... wenn ich das ganze optimiere, dann komm ich auf ne bestimmte menge ... hm hm hm ... aber ... naja, gibt's da keine formel die das ausdrückt?

sorry - meine schulzeit liegt schon länger zurück ... traurig

04.04.2008, 11:34

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dittodhole
und wenn ich die bedingung
$\begin{eqnarray*} M \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
hinzufüge?

Dann stimmt es wohl, dass die von dir angegebene Lösung die einzige ist. Augenzwinkern

04.04.2008, 11:38

dittodhole

Auf diesen Beitrag antworten »

aber kann ich da nicht irgendwie ein system, welches mir bei der lösung hilft bzw. löst, aufstellen?

hab' da gar keinen ansatz wie ich das mithilfe der mathematik näher definieren kann...

04.04.2008, 12:08

Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Gleichung umgeformt ergibt $\begin{eqnarray*} F = 20 - M - K \end{eqnarray*}$ , eingesetzt in zweite dann $\begin{eqnarray*} K = 14M - 40 \end{eqnarray*}$ . Aus der Bedingung $\begin{eqnarray*} K\geq 1 \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} 14M - 40 \geq 1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} M \geq \frac{41}{14} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt $\begin{eqnarray*} K=14M-40 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} F=20-M-K \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} F = 60 - 15M \end{eqnarray*}$ . Bedingung $\begin{eqnarray*} F\geq 1 \end{eqnarray*}$ erfordert $\begin{eqnarray*} M \leq \frac{59}{15} \end{eqnarray*}$

Im Bereich $\begin{eqnarray*} \frac{41}{14} \leq M \leq \frac{59}{15} \end{eqnarray*}$ liegt aber nur eine ganze Zahl, nämlich $\begin{eqnarray*} M=3 \end{eqnarray*}$ . D.h. unter Hinzunahme dieser Ganzzahligkeitsbedingung wird die Lösung eindeutig.

Klingt furchtbar, aber tatsächlich werden manche Probleme komplizierter, wenn man sie von den reellen Zahlen auf die vermeintlich einfacheren ganzen Zahlen einschränkt - Stichwort: Diophantische Gleichungen.

Neue Frage »

Antworten »

lösung von 2 gleichungen und 3 variablen

Verwandte Themen