konvergenz

04.04.2008, 12:16

US345

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konvergenz

Hallo allerseits,

ich habe eine Aufgabe und weiß nicht genau wie ich da ran gehen soll.
Also:
Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray*} a_n=\frac {3n}{2n+8} \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie durch direktes zurückführen auf die Definition der Konvergenz, dass $\begin{eqnarray*} a_n -> 3/2 \end{eqnarray*}$

Ich hätte so angefangen:

$\begin{eqnarray*} \mid a_n - a\mid < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{3n}{2n+8} - \frac{3}{2}\mid < epsilon \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?????? Danach nach n umformen??????

04.04.2008, 12:43

klarsoweit

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RE: konvergenz
Im Prinzip ja.

Ist aber eher Schulmathe, oder?

04.04.2008, 16:16

WebFritzi

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RE: konvergenz

Zitat:

Original von klarsoweit
Ist aber eher Schulmathe, oder?

Grenzfall. Ich hatte sowas - glaube ich - nicht an der Schule.

04.04.2008, 18:28

US345

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RE: konvergenz
Also mir ist klar das dass der Grenzwert ist...aber wie gehe ich weiter???

04.04.2008, 18:31

kiste

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Wie wärs mit erst mal alles auf den Hauptnenner bringen? Dann sieht du ob es positiv oder negativ ist und kannst den Betrag entfernen. Dannach nur noch die Ungleichung lösen

04.04.2008, 18:48

US345

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$\begin{eqnarray*} \mid a_n - a\mid < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{3n}{2n+8} - \frac{3}{2}\mid < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{6n}{4n+16} - \frac{6n+24}{4n+16}\mid < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{3}{2}+\frac{3n}{8}-\frac{6n+24}{4n+16}\mid <epsilon \end{eqnarray*}$

Und hier dran sehe ich ob es positiv ist???????

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04.04.2008, 18:51

kiste

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Schreckliche Bruchregeln bei der letzten Umformung, "aus Summen kürzen nur die ..."

Fasse den Bruch doch einmal zusammen, sonst hättest du kaum einen Hauptnenner gebraucht(das ist nicht der Hauptnenner aber egal es reicht für deine Zwecke)

04.04.2008, 19:00

US345

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Wo du Recht hast hast du Recht....

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{6n}{4n+16} - \frac{6n+24}{4n+16}\mid < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{6n -6n+24}{4n+16}\mid < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{24}{4n+16}\mid < epsilon \end{eqnarray*}$

So und da kann ich einfach die Betragsstriche weg nehmen?

04.04.2008, 19:11

tmo

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überlege doch mal.

wann ist $\begin{eqnarray*} |x| = x \end{eqnarray*}$ ? Ist dies hier der Fall?

04.04.2008, 19:24

US345

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ok dies ist der fall wenn es +x ist ansonsten
$\begin{eqnarray*} \mid x \mid = -(x) \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{24}{4n+16}\mid < epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{24}{4n+16}< epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{4n+16}{24}<\frac{1}{epsilon} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4n+16)24 < \frac{24}{epsilon} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 96n+384 < \frac{24}{epsilon} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 96n < \frac{24}{epsilon}-384 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n <\frac{24}{96*epsilon}-\frac{384}{96} \end{eqnarray*}$

und nun? wie zeige ist das a_n auf 3/2 konvergiert??

04.04.2008, 19:41

tmo

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Zitat:

Original von US345
ok dies ist der fall wenn es +x ist ansonsten

was meinst du damit?

weiterhin musst du bei ungleichungen das ungleichungszeichen umdrehen, wenn du den kehrwert auf beiden seiten bildest.
und als du mit 24 multipliziert hast, hast du auch einen fehler eingebaut.

04.04.2008, 19:47

US345

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Ok- das mit dem Umdrehen vom Ungleichheitszeichen wusste ich nicht und was ist bei der Multiplikation mit 24 falsch?

04.04.2008, 21:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von US345
Ok- das mit dem Umdrehen vom Ungleichheitszeichen wusste ich nicht

Solltest du aber wissen. Ist auch ganz logisch. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} < \frac{1}{2} \Longrightarrow 3 > 2. \end{eqnarray*}$

05.04.2008, 13:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von US345
$\begin{eqnarray*} \frac{4n+16}{24}<\frac{1}{epsilon} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4n+16)24 < \frac{24}{epsilon} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, daß die Richtung des Ungleichheitszeichens nicht mehr stimmt, reicht es völlig, wenn du die linke Seite einmal mit 24 multiplizierst und nicht zweimal.

05.04.2008, 14:18

US345

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Also ich habe doch die linke Seite nur einmal mit 24 multipliziert und die rechte...???
So?
$\begin{eqnarray*} \frac{4n+16}{24}>\frac{1}{epsilon} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4n+16)24 < \frac{24}{epsilon} \end{eqnarray*}$

05.04.2008, 14:33

WebFritzi

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Nein, du multiplizierst sie zweimal mit 24. Und das ist nicht OK.

EDIT: Was ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot 2 \end{eqnarray*}$ ? Schlimm, dass man sowas im Hochschulforum erklären muss...

05.04.2008, 14:34

Mulder

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Nein, du machst das in der Form, wie du sie nun geschrieben hast, zwei mal.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{24}\cdot 24=a\neq a \cdot 24 \end{eqnarray*}$

Und mit dem Ungleichheitszeichen war immer noch die Umkehrung bei der Bildung des Kehrwertes gemeint. Wurde doch schon gesagt:

Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{24}{4n+16} < \epsilon \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{4n+16}{24} > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ . Eine Multiplikation mit 24 ändert aber doch die Richtung des Ungleichheitszeichens nicht.

Edit: Gna!

06.04.2008, 10:32

US345

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$\begin{eqnarray*} \frac{4n+16}{24} > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4n+16 > \frac{24}{\epsilon} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4n > \frac{24}{\epsilon} -16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n > \frac{24}{\epsilon*4} - 4 \end{eqnarray*}$

Besser???? Und dann????
Das mit der 24 hab ich gestern echt nicht gesehen - sorry für die blöde Frage

06.04.2008, 10:56

kiste

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Sieht korrekt aus. Und jetzt bist du fertig. Du weißt das z.B. ab $\begin{eqnarray*} n_0(\varepsilon ) := \left\lfloor\frac 6 \varepsilon \right\rfloor - 2 \end{eqnarray*}$ der Abstand zum Grenzwert kleiner $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist

edit: Gaußklammern hinzugefügt

06.04.2008, 10:58

tmo

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Man sollte noch beachten, dass $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gefordert wird.

06.04.2008, 16:30

US345

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Sorry steht noch ein bisschen auf der Leitung...

$\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Das verstehe ich noch nicht so ganz.
Der grenzwert soll ja
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
sein und was sehe ich hieraus

$\begin{eqnarray*} n > \frac{6}{\epsilon} - 4 \end{eqnarray*}$
nun???

06.04.2008, 16:33

kiste

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Lese dir doch noch einmal meinen Beitrag durch, da steht alles drin was du wissen musst.

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