Knifflige Bonbonaufgabe

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Georgios Auf diesen Beitrag antworten »
Knifflige Bonbonaufgabe
Moin an alle, die sich ein bisschen mit Stochastik auskennen! Hier kommt eine Aufgabe, die ich komplett nicht lösen kann; ich wäre für Hilfe und einige Erläuterungen(!!) sehr dankbar, denn ich kann mich mit mit Fug und Recht als langsam bezeichnen, wenn's um Stochastik geht verwirrt .

Hilfe Bevor ihr alle den Beitrag wegklickt schicke ich mal folgendes voraus: lasst euch nciht von der Aufgabenlänge schrecken, denn ich bin genauso dankbar dür Teillösungen, besonders wichtig für mich ist nur dass sie verständlich erläutert sind.

Für seinen Kindergeburtstag möchte sich das Geburtstageskind einen Scherz erlauben und Überraschungskekse backen. Jeder Keks wird mit 4 bunten Schokoladenbonbons verziert. Dem Gburtstagskind ist es gelungen, Schokoladenbonbons so zu präparieren, dass sie sauer schmecken, ohne dass sie äußerlich von normalen Schokoladenbonbons zu unterscheiden sind. Ein Keks mit mindestens einem sauren Schokoladenbonbon ist ungenießbar. um die Überraschung zu vergrößern werden normale und saure Schokoladenbonbons vermischt, bevor die auf die Kekse geklebt werden.

a)Von einem Häufchen mit 12 Bonbons sind 3 sauer. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Keks ungenießbar ist, wenn die Bonbons von diesem Häufchen genommen werden.
b)(1) In einer Tüte befinden sich 50 Bonbons. Davon werden wieder 4 Bonbons für den nächsten Keks genommen. Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Keks in Ordnung ist, wenn von den 50 Bonbons 5 sauer sind. (2)Sei m die Anzahl der sauren Bonbons. Bestimmen sie m so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Keks genießbar wird größer ist als die Wahrscheinlichkeit, dass er ungenießbar wird.
c)In der Tüte befinden sich unter den 50 Bonbons 5 saure. Es werden 4 Bonbons entnommen. Es sei X die Anzahl der sauren Bonbons unter den 4 entnommenen. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X auf und berechnen Sie den Erwartungswert. Wandeln sie das Zufallsexperiment so ab, dass eine Binomialverteilung vorliegt und berechnen Sie den zugehörigen Erwartungswert. Vergleichen sie die Verteilungen miteinander.

So das wars (ist ne Abituraufgabe von ´99). Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr ein paar Worte dazu schreiben könntet wie ihr die Fragen versteht, da ich da so meine Probleme habe. Frage a) meine ich z.B. inzwischen so verstanden zu haben, dass 3 Kekse gebacken werden und dann die Warscheinlichkeit berechnet werden soll, dass ein zufällig gewählter Keks der drei ungenießbar ist - ich glaube sonst hätte unser Lehrer ( Lehrer )nämlich "genau einen" oder "den ersten/zweiten/... Keks" geschrieben. Der legt nämlich viel Wert auf mathematisch korrekte Schreibweisen. Und wo wäre sonst der Unterschie zwischen a) und b)(1) und was bedeutet das "wieder" in b).

Ich wäre euch auch dankbar ( Gott ) , wenn ihr euch mal folgendem Problem widmen würdet.
Gehen wir einmal davon aus, Frage a) wäre folgendermaßen zu vertstehen:
"Das häufchen Bonbons wird zu drei Keksen verarbeitet. Danach ruft das Kind irgendjemanden und lässt ihn einen Keks beliebig ziehen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dieser Jemand einen ungenießbaren Keks gezogen?"

Mein verzweifelter Hilferuf bezieht sich auf folgenden Lösungsansatz:
Sei X die Anzahl der ungenießbaren Bonbons die produziert wurden; x={1,2,3}.
Ich brauche Hilfe mit Erläuterungen(!!) bei der Lösung von den Teillproblemen P(X=1), P(X=2), P(X=3). Warum zum Beispiel ist es bei P(X=1) gleich wahrscheinlich, dass der erste, der zweite oder der dritte Keks ungenießbar sind*.
Den (zugegeben unbedeutenden Rest) kann ich dann alleine lösen.
Wer noch andere Ansätze hat, der zögere nicht, sie hinzuschreiben .

Vielen Dank im voraus

*)wer sich jezt fragt woher ich das wissen will, wo ich doch sonst keine Ahnung habe: Ich habe eine Computersimulation von 4 Mio. "Backreihen" durchgeführt und einige Ergebnisse bekommen, die mich sehr erstaunten.
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

a) verstehe ich tatsächlich so, dass es wirklich nur um einen Keks geht. Sodass letzlich von den 12 Bonbons noch 8 übrig bleiben. Da "ungenießbar" bedeutet, dass min. 1 Bonbon sauer ist, kann man auch über das Gegenereigniss("dass kein Bonbon sauer ist"). Die Wahrscheinlichkeit lässt sich dann über ein Baumdiagramm bestimmen, wobei die Bonbons ja nicht zurückgelegt werden. Da 4 Bonbons auf ein Keks kommen hat der Wahrscheinlichkeitsbaum 4 Stufen.
Nimmt man das erste Bonbon, so ist es mit einer WsK von 9/12 nicht sauer; beim zweiten sind es dann 8/11; beim dritten 7/10 und beim 4 Bonbon eben 6/9. Über die erste Pfadregel kommt man dann zu:

P("kein Bonbon sauer") =

Da wir aber die Wsk für das Gegenereigniss"min. ein Bonbon sauer" haben wollen rechnen wir wie folgt:

P("min. 1 Bonbon sauer" = "Keks ungenießbar") = 1 - P("kein bonbon sauer") = 1 -
 
 
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

konntest du mit meiner Lösung anfangen, oder steckst du irgendwo fest, oder bist du einfach wieder abgesprungen?
SiC)Daniel Auf diesen Beitrag antworten »

@falk
das is genau auch mein lösungsansatz
und das "wieder" in b bezieht sich auf die anzahl der bonbons: in a und b werden 4 bonbons genommen


aufgabe b besagt: "für den nächsten keks". gibt allerdings keine aussage über die anzahl der in a gebackenen kekse

die 74,45% lösung hatten wir beide schon, ich bin in georgios' kurs
wahrscheinlich antwortet er deshalb nicht
er wartet auf leute die denselben verqueren ansatz haben wie er :P
Jeff Auf diesen Beitrag antworten »

also ich mach mich dann mal an b) ran:

b) 1)

Die Wahrscheinlichkeit fuer jeden einzelnen Bonbon, dass er sauer ist, ist 5/50 = 1/10.
Die Gegenwahrscheinlichkeit, dass der Bonbon nicht sauer ist betraegt also 45/50 = 9/10.
Jetzt wollen wir vier Kekse haben die in Ordnung sind, also 45/50*44/49*43/48*42/47 = 4257/6580 = .64696

2)

Wahrscheinlichkeit fuer BB das sauer = m/50
. -||- das nicht sauer = (50-m)/50
Jetzt wollen wir 4 Bs nehmen und dann soll P("OK") > P("Sauer") sein.
P("OK") = (das Summen Zeichen ist ein Produkt Zeichen)

Da P("OK") + P("Sauer") = 1, muss einfach P("OK")>.5 gelten. Also muessen wir die Gleichung >.5 (das Summen Zeichen ist ein Produkt Zeichen) nach m loesen nur das macht mein Taschenrechner grad nicht, also kann ich dir leider kein exaktes Ergebnis fuer m sagen. Aber wenn m <= 7 ist, dann ist die P("OK") >= .535866

Das erstmal soweit, gucken wenn ich nacher ncohma Zeit hab, kann ich dir vielleicht noch den Rest machen...

Ma eben so nebenbei, ist das ne GK oder LK Abituraufgabe? Weil wenn ich sowas im Abitur krieg, dann freu ich mich aber... bin in einem Mathe LK 12 Schwerpunkt Stochastik.

//Edit: \Bigprod ergibt das große Produkt-Zeichen (by fALK dELUXE)
Jeff Auf diesen Beitrag antworten »

Hab m grad mal graphisch ungefaehr bestimmt:

wenn m < 7.7 dann P("OK") >0.5

--------------------------------------------------------------------------


Also zu der Verteilung von X = Anzahl der sauren Bs von 4 gezogenen aus 50 wobei 5 sauer sind.

P(X=0) = = .646961
P(X=1) = = .077019
P(X= 2) = = .007165
P(X= 3) = = .000488
P(X= 4) = = .00002171

So ist X verteilt, der Erwartungswert ist :

E(X) = P(X=1) + P(X=2)*2 + P(X=3)*3 + P(X=4)*4 = .09290056

Aus irgendeinem mir grad unerklaerlichen Grund ist



Frag mich nicht warum... und der Erwartungswert ist ja auch ein wenig sehr niedrieg, wenn man das mit der unteren Binomialverteilung vergleicht, was ja aehnlich verteilt sein sollte, da faellt auf, dass der Wert fuer P(X=1) irgendwie nicht ganz stimmt... aber ich seh immer noch nicht wieso *blindsei*.... hmmm....

Naja, so aehnlich sollte das auf alle Faelle verteilt sein....

Fuer eine Binomialverteilung, muss man das Experiment einfach so abwandeln, dass wenn man einen B aus der Tuete nimmt nacher wieder einen B reintut, der den gleichen "Status"(Sauer/OK) hat wie der der heraus genommen wurde. Dann ist das ganze Binomialverteilt:

P(Xb=k) = bd(4,5/50,k) =
P(Xb=0) = bd(4,5/50,0) = .6561
P(Xb=1) = bd(4,5/50,1) = .2916
P(Xb=2) = bd(4,5/50,2) = .0486
P(Xb=3) = bd(4,5/50,3) = .0036
P(Xb=4) = bd(4,5/50,4) = .0001

Und der Erwartungswert wird genauso wie oben berechnet und betraegt dann E(Xb)=.4

Und hier entspricht bv(4,5/50,0,4) auch eher 1.

Vielleicht find ich oder jemand anders ja noch den Fehler oben....

//Edit: Posts zusammengefügt: Wenn du dich anmeldest, dann kannst du auch deine post editieren und brauchst nicht ständig neue zu posten smile (by fALK dELUXE)
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen X-Werte sind falsch, weil du betrachtest nur den Fall, dass die ersten immer die sauren BonBons sind, dabei gibt es dort noch mehr Möglichkeiten. Ist hier der Binomialkoeffizient nicht eventuell sinnvoller?

mein vorschlag:

Jeff Auf diesen Beitrag antworten »

K, macht Sinn, dann kann man das ganze einfach noch mit 4 ueber "Anzahl der sauren Bs" mutliplizieren und dann sollte das stimmen...
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

hab schnell in prolog ein kleines prog geschrieben, weil ich zu faul bin den Binomialkoeffizienten immer per hand auszurechnen.

P(X = 0) = 0.64696
P(X = 1) = 0.308076
P(X = 2) = 0.0429874
P(X = 3) = 0.00195397
P(X = 4) = 0.0000217108

= E(X) = 0.4
Jeff Auf diesen Beitrag antworten »

IN PROLOG? Bist du denn des Wahnsinns oder was? Ich mag die "Sprache" ja nicht so wirklich, aber mal eben eine rein technische Frage: Wie rechnest du denn Binomialkoeffizienten mit Prolog aus, wenn Prolog noch nicht mal mit Dezimalzahlen arbeiten kann? Da muss man doch so komisch rechnen irgendwie X is Y/Z, Y is 3*H/O, bliblablo, oder nicht? Oder hast du dir da jetzt in Prolog die ganzen "Grundoperatoren" als Funktionen geschrieben also sq(x) = x^2 usw. oder wie? Wuerd mich mal interessieren, kannst ja mal nen bisschen src posten wenn's dich nicht stoert...
Jeff Auf diesen Beitrag antworten »

BTW: Was ich oben gemacht hab ist auch die Binomialkoeffizienten ausrechnen, bei mir ist die Funktion bd(n,p,k1,k2) also die Binomialedichte in dem Intervall [k1;k2] definiert...

(frag mich nciht warum unsere Werte nciht exact gleich sind, evtl. rundungsfehler von PROLOG!!!!! GENAU, PROLOG IST SCHULD!!! Augenzwinkern )
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, da wir derzeit in Inf PROLOG behandeln, hatten wir im untericht schon eine Regel zur Berechnung von Fakultäten entwickelt:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
fak(0,1).
fak(N,E) :- 	N > 0,
		X is N - 1,
		fak(X,Y),
		E is N * Y.


Damit lässt sich ja dann schnell eine Regel zur Berechnung des Binomialkoeffizienten erstellen(kurz: binko Big Laugh ):

code:
1:
2:
binko(A,B,E) :- fak(A,C), fak(B, D), G is A - B, fak(G, F),
		H is F * D, E is C / H.


Ist zwar nicht besonders übersichtlich, aber die Grundintention ist ja wohl verständlich. smile

Damit ließ sich aber noch nicht die Wahrscheinlichkeit nach meiner o.g. Formel berechnen, also gabs dafür nochmal eine Regel:

code:
1:
2:
wsk(M,E) :- 	N is 4 - M, binko(5, M, A), binko(45, N, B), C is A*B,
		E is C / 230300.


Viel Spaß beim durcharbeiten!
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