Lineare Abhängigkeit von Funktionen

25.09.2005, 10:20

Mingo

Lineare Abhängigkeit von Funktionen

Wir haben jetzt als Thema in der Schule Lineare Abhängigkeiten von Vektoren.
Dabei ist mir eine Aufgabe über Funktionen über dem Weg gekommen und ich weiß nicht, wie ich sie lösen soll.
Man soll zeigen, dass die Funktionen f, g und h aus dem Vektorraum der ganzrationalen Funktionen höchstens 2.Grades linear unabhängig sind.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß zwar, dass die Funktionen dafür $\begin{eqnarray*} r*f(x)+s*g(x)+t*h(x)=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen müssen.
Jedoch komme ich damit nicht sehr weit.

25.09.2005, 10:58

klarsoweit

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RE: Lineare Abhängigkeit von Funktionen
Soweit ok. Dier Linearkombination r*f + s*g + t*h soll die Nullfunktion ergeben, das heißt, deine Gleichung muß für alle x gelten. Jetzt wähle drei verschiedene x-Werte und schreibe die entsprechenden Gleichungen hin. Was muß folglich für r, s und t gelten?

25.09.2005, 12:57

Mingo

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Was meinst du mit 3 verschiedene X-Werte hinschreiben? Ich dachte es muss für alle x-Werte gelten.
Ich hätte dann
$\begin{eqnarray*} r*f(1)+s*g(1)+t*h(1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r*(1)^2+s*(1)+t*1=0 \end{eqnarray*}$
Hier wäre doch z.B. eine Lösung r=1, s=-1 und t=0. Damit wären sie doch linaer abhängig, was ja nicht sein sollte.

25.09.2005, 14:10

Egal

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Du suchst ja auch eine allgemeine Lösung die für alle x gilt also für x=1 genauso wie für x=20 mit den selben r,s und t versteht sich.
$\begin{eqnarray*} rx^2+sx+t=0 \end{eqnarray*}$ und zwar so das $\begin{eqnarray*} (r,s,t)\neq (0,0,0) \end{eqnarray*}$

25.09.2005, 15:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mingo
Was meinst du mit 3 verschiedene X-Werte hinschreiben? Ich dachte es muss für alle x-Werte gelten.
Ich hätte dann
$\begin{eqnarray*} r*f(1)+s*g(1)+t*h(1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r*(1)^2+s*(1)+t*1=0 \end{eqnarray*}$

Soweit erstmal richtig bis auf die Schlußfolgerung. Wir wollen ja zeigen, daß r=s=t=0 sein muß, wenn man das Nullpolynom konstruieren will.
Also du hast jetzt x = 1 gewählt und die Gleichung r + s + t = 0 erhalten. Jetzt dasselbe nochmal für 2 andere x-Werte. Insgesamt erhältst du ein GLS mit drei Gleichungen.

25.09.2005, 16:04

Mingo

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Heißt das denn, dass ich einfach drei beliebige x-Werte nehme, diese einsetze und das LGS lösen soll, und wenn dann nur die triviale Lösung rauskommt, dass die Unabhängigkeit gezeigt wurde? Wenn das stimmt habe ich das dann kapiert und danke Dir. ^^
Ich habe jetzt als Beispiel x=1, x=2 und x=3. dann das LGS
r+s+t=0
4r+2s+t=0
9r+3s+t=0
Dort ist nur r=s=t=0 Lösung.
Damit wär ich doch dann fertig oder?

Und ich hab noch eine Frage, kann mann das allgemein anwenden auf andere Funktionen?

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