Zweiter Isomorphiesatz

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BenGast Auf diesen Beitrag antworten »
Zweiter Isomorphiesatz
Hallo,

ich schaue mir gerade den Beweis für den zweiten Isomorphiesatz an, der da lautet:
Sei , dann ist

Um das zu beweisen, nehme ich den ersten Isomorphiesatz zu Hilfe:

Also definiere ich mir eine Abbildung
Nun ist zu zeigen:
1. f ist k-Linear
2. f ist wohldefiniert
3. = ker(f)
4. (U + W) / U = im(f)

1. ist klar
2. , da , folgt , das ist aber äquivalent zu .
3. Sei , da aber auch .
Sei , da .
4. Jetzt kommt der Punkt, wo ich nicht weiter weiß:
Sei ...?
Sei , dann mit ?


Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte,

Ben
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es gilt doch:

u+w+U=w+U, also ist w ein Urbild.

Gruß
Anirahtak
BenGast Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke. Hab heute morgen festgstellt, dass ich aus Versehen eine Voraussetzung des dritten Isomorphiesatzes in den zweiten eingebaut habe. Es gilt nicht unbedingt , deshalb ist mein Beweis für die Wohldefiniertheit hinfällig. Wie kann ich diese aber nun beweisen?


Danke im Voraus,

Ben
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielleicht verstehe ich dich falsch oder stehe am Schlauch, aber: deine Abbildung ordnet jedem w ein Bild w+U zu, und dabei kann doch eigentlich nicht viel schiefgehen.
Problematisch wird es nur, wenn du Abbildungen über Repräsentanten definierst. Dann musst du zeigen, dass die Zuordnung unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist. Hier ist das aber nicht der Fall, oder?

Gruß
Anirahtak
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