Beweis mit der Error Function

05.04.2008, 13:29

conni123

Beweis mit der Error Function

Hallo,
folgendes habe ich in einem Buch gefunden und komme damit nicht weiter.

Das folgende Integral soll durch die Fehlerfunktion erf(x) ausgedrückt werden.

$\begin{eqnarray*} P=\frac{2}{Ur \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{Ue}~e^{-\frac{1}{2}({\frac{ur}{Ur}})^2 }~dur \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} erf(x)=\frac{2}{ \sqrt{\pi} } \int_{0}^{x}~e^{-z^2}~dz \end{eqnarray*}$

Nun behauptet der Autor, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} erf(\frac{Ue}{\sqrt{2}Ur})=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{Ue}~e^{-(\frac{ur}{{\sqrt{2}Ur}})^2}~d(\frac{ur}{\sqrt{2}Ur}) \end{eqnarray*}$

dieser Ausdruck soll angeblich wieder das selbe sein wie

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{Ur \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{Ue}~e^{-\frac{1}{2}({\frac{ur}{Ur}})^2 }~dur \end{eqnarray*}$

Den letzen Schritt vertehe ich.

Mein Problem ist der Schritt beim Einsetzen in die erf(). Kann mir da evtl. jemand auf die Sprünge helfen?

05.04.2008, 13:51

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Heißt es nicht eher $\begin{eqnarray*} u_r \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} ur \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Wie auch immer, substituiere $\begin{eqnarray*} z = \frac{ur}{\sqrt{2} ~ Ur} \end{eqnarray*}$ .

08.04.2008, 17:53

conni123

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Hallo,

ja es heisst $\begin{eqnarray*} u_r \end{eqnarray*}$ ich wusste nur nicht, wie man Indizes setzt.

Okay ich substituiere:
$\begin{eqnarray*} z = \frac{ur}{\sqrt{2} ~ Ur} \end{eqnarray*}$

und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}~e^{-(\frac{ur}{{\sqrt{2}Ur}})^2}~d(\frac{ur}{\sqrt{2}Ur}) \end{eqnarray*}$

gut,
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}U_r} \end{eqnarray*}$
ist konstant und ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{Ur \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x}~e^{-\frac{1}{2}({\frac{ur}{Ur}})^2 }~dur \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es nun weiter? In der erf(x) wird nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ integriert und ich integriere nach $\begin{eqnarray*} u_r \end{eqnarray*}$ . Somit habe ich noch einen konstanten Faktor im Exponenten. Wie gehe ich damit um?

08.04.2008, 22:47

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Also Ausdrücke (Differentiale ?) wie $\begin{eqnarray*} d(\frac{ur}{\sqrt{2}Ur}) \end{eqnarray*}$ mag ich überhaupt nicht - das birgt nur Missverständnisse! Deine Aufgabe ist doch

Zitat:

Original von conni123
Das folgende Integral soll durch die Fehlerfunktion erf(x) ausgedrückt werden.

$\begin{eqnarray*} P=\frac{2}{Ur \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{Ue}~e^{-\frac{1}{2}({\frac{ur}{Ur}})^2 }~dur \end{eqnarray*}$

Also führe doch die empfohlene Substitution richtig durch, ohne solche fragwürdigen Differentialausdrücke. Zur richtigen Substitution gehört auch, dass die Integralgrenzen dieser Substitution unterzogen werden!!!

09.04.2008, 18:14

conni123

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Aber Du sagtest doch, ich solle
$\begin{eqnarray*} z = \frac{ur}{\sqrt{2} ~ Ur} \end{eqnarray*}$

ansetzen und es wird nunmal nach $\begin{eqnarray*} dz \end{eqnarray*}$ integriert.

Bin ich mit meiner Lösung nicht auf dem richtigen Weg?

09.04.2008, 19:36

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Zitat:

Original von conni123
Aber Du sagtest doch, ich solle
$\begin{eqnarray*} z = \frac{ur}{\sqrt{2} ~ Ur} \end{eqnarray*}$

ansetzen und es wird nunmal nach $\begin{eqnarray*} dz \end{eqnarray*}$ integriert.

Na ja doch! Warum machst du es dann nicht?

Zitat:

Original von conni123
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{Ur \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x}~e^{-\frac{1}{2}({\frac{ur}{Ur}})^2 }~dur \end{eqnarray*}$

Und was soll dieses ominöse $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als obere Intergrationsgrenze? verwirrt

09.04.2008, 21:45

conni123

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Och man warum is das so kompliziert?

Ich will
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{Ur \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{Ue}~e^{-\frac{1}{2}({\frac{ur}{Ur}})^2 }~dur \end{eqnarray*}$

durch

$\begin{eqnarray*} erf(x)=\frac{2}{ \sqrt{\pi} } \int_{0}^{x}~e^{-z^2}~dz \end{eqnarray*}$

ausdrücken. Da is das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ja nunmal der Parameter, den ich übergeben kann.
So Du sagtest: Substituiere:
$\begin{eqnarray*} z = \frac{ur}{\sqrt{2} ~ Ur} \end{eqnarray*}$

Das habe ich getan und
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}~e^{-(\frac{ur}{{\sqrt{2}Ur}})^2}~d(\frac{ur}{\sqrt{2}Ur}) \end{eqnarray*}$
erhalten.

Ich komm nun aber nicht weiter. Wie meinst du das mit den Integrationsgrenzen?

09.04.2008, 22:20

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Als erstes: Du meinst $\begin{eqnarray*} U_e,U_r,u_r \end{eqnarray*}$ , ja? Nach den Beispielen oben könntest du dich ja auch mal bequemen, das richtig zu schreiben statt der mit Produkten verwechselbaren $\begin{eqnarray*} Ue,Ur,ur \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Zweitens zum mathematischen Teil: Substitution $\begin{eqnarray*} z = \frac{u_r}{\sqrt{2} ~ U_r} \end{eqnarray*}$ war und ist immer noch

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{U_r \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{U_e} ~ e^{-\frac{1}{2}({\frac{u_r}{U_r}})^2 } ~ \dd u_r = \frac{2}{U_r \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\frac{U_e}{\sqrt{2} ~ U_r}} ~ e^{-z^2} ~ \sqrt{2} U_r ~ \dd z = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\frac{U_e}{\sqrt{2} ~ U_r}} ~ e^{-z^2} ~ \dd z \end{eqnarray*}$

Hast du nie bei der Substitution gelernt, die Integrationsgrenzen mit zu transformieren???

EDIT: Ausdrücke wie

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{U_e} ~ e^{-(\frac{u_r}{{\sqrt{2}U_r}})^2} ~ \dd\left( \frac{u_r}{\sqrt{2}U_r} \right) \end{eqnarray*}$

sind so geschrieben in meinen Augen einfach Bullshit: Woher soll man denn bei diesem abenteuerlichen Differentialausdruck wissen, dass ausgerechnet $\begin{eqnarray*} u_r \end{eqnarray*}$ hier die Integrationsvariable ist? Warum nicht $\begin{eqnarray*} U_r \end{eqnarray*}$ ? Das mindeste, was man erwarten kann, ist da eine Klarstellung wie vielleicht mit

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{u_r=0}^{U_e} ~ e^{-(\frac{u_r}{{\sqrt{2}U_r}})^2} ~ \dd\left( \frac{u_r}{\sqrt{2}U_r} \right) \end{eqnarray*}$ .

Dann kann man erkennen, dass es sich um ein Stieltjes-Integral $\begin{eqnarray*} \int ~ g(u_r) ~ \dd F(u_r) \end{eqnarray*}$ handelt - aber nur dann!

10.04.2008, 22:12

conni123

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Okay ich versuchs nochmal anderweitig. Das hat hier so keinen Sinn mehr.
Dennoch danke.

10.04.2008, 22:17

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Das sehe ich nach dieser deiner Antwort auch so.

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