gebrochenrationale Funktionen

25.09.2005, 20:31

_-Lena-_

gebrochenrationale Funktionen

hey.. also, wir haben ein paar aufgaben zum lernen für die klausur bekommen.. eine davon lautet
gib eine gebrochenrationale Funktion an, welche x=1 und x=-2 als Nullstellen sowie x=4 und x=-5 als Polstellen hat.
ist die funktion dann $\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)(x+2)}{(x-4)(x+5)} \end{eqnarray*}$ ???

25.09.2005, 20:36

mYthos

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Hi!
Definitiv ja!

Gr
mYthos

25.09.2005, 20:40

system-agent

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definitiv nein, denn es muss so heißen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-4)(x+5)} \end{eqnarray*}$
ohne f(x) ist es nur ein term und keine funktion Rock

25.09.2005, 20:40

_-Lena-_

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sehr gut.. dann bin ich schonmal froh dass ich das verstanden hab.. dann eine weitere aufgabe:
gib eine gebrochenrationale Funktion an, deren Schaubild die Geraden g: y=1-x und h: x=-1 als Asymptoten hat.

dann wäre der Nenner doch (1-x)(x+1)

aber was ist der Zähler?

lg lena

PS: ja ich weiß auch dass da ein f(x)= davor muss.. aber ich habs einfach weggelassen.. mythos wusste schon was gemeint war Augenzwinkern

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

25.09.2005, 20:45

Lazarus

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ja, allerdings ist das nur eine!
alle funktionen die so sind müssten so aussehn:
$\begin{eqnarray*} f_{a,b,c,d}(x)=\frac{(x-1)^a(x+2)^b}{(x-4)^c(x+5)^d} \ \ ; a,b,c,d \in \mathbb R \backslash 0 \end{eqnarray*}$

servus

25.09.2005, 20:53

_-Lena-_

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nee also das versteh ich jetz nich wirklich.. aber is auch nich schlimm weil in der aufgabenstellung ja auch stand dass wir EINE funktion angeben sollen.. und ich glaub auch nich dass sowas in der klausur dran kommt..
aber wär klasse wenn jemand mir bei der anderen Aufgabe (siehe oben) weiterhelfen könnte! danke
lg lena

25.09.2005, 21:00

mYthos

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Ja, das ist schon klar, das wäre auch bei der 2. Aufgabe zu bedenken, aber in der Aufgabenstellung heisst es: Gib EINE Funktion an ..

Bei der 2. Aufgabe darf nur x + 1 im Nenner stehen, der Zähler muss ein quadratisches Polynom sein, welches bei der Division durch (x + 1) das ganzrationale Polynom 1 -x liefert, ein konstanter Rest kann bestehen bleiben ...

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{-x^2 + c}{x + 1} \end{eqnarray*}$

wäre eine solche Möglichkeit, es sind bei Weitem nicht alle...

Bemerkung: c muss ungleich 1 sein, damit bei der Division ein Rest bestehen bleibt (ansonsten ergibt sich eine lineare Funktion)..

Gr
mYthos

25.09.2005, 21:02

Lazarus

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ich wollte dich nur darauf aufmerksam machen, das eben jede funktion die das $\begin{eqnarray*} f_{a,b,c,d}(x)=\frac{(x-1)^a(x+2)^b}{(x-4)^c(x+5)^d} \ \ ; a,b,c,d \in \mathbb R \backslash 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt eine der gesuchten ist.

zu den asymptoten:
y=1-x ist das verhalten gegen unendlich
und x=-1 bedeutet das die funktion bei -1 eine polstelle hat,

wie muss sie folglich aussehn ?

tipp:skizze!

servus

25.09.2005, 21:14

_-Lena-_

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also ich halte erstmal fest: schräge asymptoten halte ich nicht im nenner fest.. ihr wisst was gemeint ist???

und dass y=1-x das verhalten gegen unendlich beschreibt hab ich auch verstanden, aber was heißt das speziell für meine Funktion???

@ mythos: also ist das, was ich bei der Polynomdivision herausbekomme meine schräge Asymptote??
wenn ja, heißt das, dass der Zähler = Nenner mal schräge Asymptote ist?

@ lazarus: was meinst du mit "wie muss sie folglich aussehn ?" als skizze oder als Funktion?

ich bin gerade echt noch mehr verwirrt als zu anfang

trotzdem schonmal danke

25.09.2005, 21:25

mYthos

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JA, es stimmt, der Zähler ist das Produkt des linearen Termes der schrägen Asymptote mit dem Nennerterm + konst. Rest ungleich Null

25.09.2005, 21:42

_-Lena-_

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aaah oh man, wenn unser lehrer das so erklären könnte..!! Augenzwinkern

ok dann hab ich zu dem thema noch eine letzte aufgabe:
Gib eine gebrochenrationale Funktion an, deren Schaubild die x-Achse in A(1|0) schneidet und die Geraden g: y=3 und h: x=2 als Asymptoten hat.

--> Nullstelle x=1 --> im Zähler: (x-1)

--> Polstelle x=2 --> im Nenner: (x-2)

aber was mache ich mit g?

bis jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x-1}{x-2} \end{eqnarray*}$

.. ist es dann $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{(x-1)3c}{x-2} \end{eqnarray*}$

25.09.2005, 22:41

mYthos

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Gar nicht schlecht, Lena!

y = 3 ist eine waagrechte Asymptote; daher ist noch der Grenzwert der Funktion für $\begin{eqnarray*} x-> \pm \infty \end{eqnarray*}$ gleich 3.

Deine Funktion erfüllt fast diese Voraussetzung, nur das c musst du weglassen, bzw. 1 setzen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3 \cdot \frac{x -1}{x - 2} \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert des Bruches ist 1, jener der ganzen Funktion daher 3.

Gr
mYthos

26.09.2005, 00:38

JochenX

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Zitat:

Original von Lazarus
ich wollte dich nur darauf aufmerksam machen, das eben jede funktion die das $\begin{eqnarray*} f_{a,b,c,d}(x)=\frac{(x-1)^a(x+2)^b}{(x-4)^c(x+5)^d} \ \ ; a,b,c,d \in \mathbb R \backslash 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt eine der gesuchten ist.

meinst du nicht eher IN\{0}? [achtung übrigens: IR\0 macht keinen sinn, du brauchst hier "menge ohne menge", also "\{0}"]

für z.b. a=-1 ist 1 eher polstelle denn asymptote

wenn du schon parameter willst, dann bitte "....*e" nicht vergessen
und streckfaktor e kann jetzt wirklich komplett aus IR\{0} gewählt werden

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