Beweis durch vollständige Induktion

05.04.2008, 15:39

Schorschi

Beweis durch vollständige Induktion

Hallo,

ich soll folgenden Sachverhalt durch vollständige Induktion beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~\frac{1}{k^3-k}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n(n+1)} \end{eqnarray*}$

Einsetzen von $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ is ja wie immer einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Allerdings weiss ich beim Induktionsschritt nicht weiter, hier mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~\frac{1}{k^3-k}=\frac{1}{4}-\frac{1}{(2n+2)*(n+2)} \end{eqnarray*}$ Das sollte rauskommen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~\frac{1}{k^3-k}=\sum_{k=2}^n~\frac{1}{k^3-k}+\frac{1}{n^3-n} \end{eqnarray*}$ Der letzte Summand ergibt sich wenn man in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^3-k} --> n+1 \end{eqnarray*}$ einsetzt...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~\frac{1}{k^3-k}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n(n+1)}+\frac{1}{n^3-n} \end{eqnarray*}$ Das kommt raus...

Kann mir mal bitte jemand sagen was ich da genau falsch gemacht habe???

Danke für eure Beteiligung.

Gruß,

Schorschi

05.04.2008, 15:41

kiste

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Den letzten Summanden hast du falsch abgespalten. Schau dir nocheinmal genau an was passiert wenn die Summe den Wert k=n+1 annimmt

06.04.2008, 11:24

Schorschi

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Stimmt!

Ich habe $\begin{eqnarray*} (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ völlig blödsinnig ausgewertet.

Jetzt sieht mein Term so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~\frac{1}{k^3-k}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n(n+1)}+\frac{1}{n^3+3n^2+2n} \end{eqnarray*}$

Sollte jetzt richtig sein, oder?

Und wie bringe ich jetzt den rechten Teil der Gleichung auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}-\frac{1}{(2n+2)*(n+2)} \end{eqnarray*}$

06.04.2008, 11:25

kiste

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Durch algebraische Umformungen. Sprich auf den Hauptnenner bringn zusammenfassen und kürzen

06.04.2008, 11:53

Schorschi

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Hmm hab ich schon versucht:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^3+5n^2+4n}{2n^5+8n^4+10n^3+4n} \end{eqnarray*}$

Da kann man noch ein n ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+5n+4}{2n^4+8n^3+10n^2+4} \end{eqnarray*}$

Und was kann man jetzt noch machen?

06.04.2008, 12:14

Bjoern1982

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Ojee, da überall die Klammern aufzulösen ist natürlich sehr aufwändig.
Wenn du dich nicht verrechnet hast, dann müsstest du halt mit PD die Zähler und Nennerterme wieder faktorisieren, um evtl nachher zu kürzen.

Um das hier zu erhalten:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}-\frac{1}{(2n+2)*(n+2)} \end{eqnarray*}$

würde ich aber lieber hier

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}-\frac{1}{2n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^3-(n+1)} \end{eqnarray*}$

ohne Betrachtung von 1/4 die anderen beiden Summanden auf einen Hauptnenner bringen, ohne Klammern aufzulösen sondern eher noch durch Faktorisieren des Nenners im letzten Term. Das führt dann relativ schnell zum gewünschten Ergebnis.

Gruß Björn

06.04.2008, 13:15

Schorschi

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Hmmm, also daraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^3-(n+1)} \end{eqnarray*}$

kann man sicherlich das machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n(n+1)+(n+1)^3-(n+1)}{2n(n+1)((n+1)^3-(n+1))} \end{eqnarray*}$

Dann kann man ein (n+1) ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+(n+1)^2-1}{2n((n+1)^3-(n+1))} \end{eqnarray*}$

Und nu??? verwirrt

06.04.2008, 14:39

TheWitch

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Das kann man, das ist aber nicht sonderlich geschickt. Besser ist es, zunächst aus dem zweiten Bruch (x + 1) auszuklammern.

Und - ganz wichtig: Das Minuszeichen vor dem ersten Bruch muss unbedingt stehen bleiben!

06.04.2008, 18:26

Schorschi

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Naja das minus kann man doch hinterher wieder dran hängen, die 1/4 lassen wir ja auch weg.

$\begin{eqnarray*} -\frac{2n(n+1)+(n+1)((n+1)^2-1)}{2n(n+1)(n+1)((n+1)^2-1)} \end{eqnarray*}$

Kürzen von $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ liefert:

$\begin{eqnarray*} -\frac{2n+((n+1)^2-1)}{2n(n+1)((n+1)^2-1)} \end{eqnarray*}$

So und jetzt beginnt von meiner Seite aus wieder das muntere Rätselraten wies dann weiter geht. Mein Vorschlag (der mich allerdings wieder in die Irre zu führen scheint):

Auflösen des oberen und unteren Teilterms $\begin{eqnarray*} ((n+1)^2-1) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+4n}{2n(n+1)(n^2+2n)} \end{eqnarray*}$

n ausklammern, kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+4}{2n(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Mit Blick auf die Lösung kommt dies der Sache ja schon recht nahe wenn man sich oben die n+4 und unten den Faktor n wegdenkt ^^

Nur leider habe ich keine Ahnung wie ich von da nun auf die Lösung komme...

06.04.2008, 19:45

TheWitch

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das "n + 4" im Zähler kommt dadurch zustande, dass du das Minuszeichen nicht mitgenommen hast (das ziehst du am besten sogar in den Zähler). Die vier fällt nämlich bei richtiger Rechnung weg und dann kannst du das n wegkürzen.

07.04.2008, 17:58

Schorschi

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Ach stimmt ja Freude

Hätte ich mal gleich auf dich hören sollen LOL Hammer

Um den Thread abzuschließen, hier die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2n-((n+1)^2-1)}{2n(n+1)((n+1)^2-1)} \end{eqnarray*}$

Als nächstes $\begin{eqnarray*} ((n+1)^2-1) \end{eqnarray*}$ auflösen unten im Anschluss n ausklammern

$\begin{eqnarray*} \frac{-n^2}{2n(n+1)n(n+2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch n^2 rauskicken, die 2 im Nenner mit in die Klammer einbeziehen und voila:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{(2n+2)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank nochmals an alle die mich auf der Suche nach der Lösung unterstützt haben.

Gruß,

Schorschi

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