Transformation der Koordinatenvektoren bei Basiswechsel

05.04.2008, 16:40

w!cked

Transformation der Koordinatenvektoren bei Basiswechsel

Gegen ist ein VR = $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray*}$ und ein Vektor dieses VR : $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dazu gibt es die Basen B1 mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und B2 mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Koordinatenvektoren errechne ich mir über ein LGS, da $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ eine LK der jeweiligen Basen ist. Daher erhalte ich nun die KV (Koordinatenvektoren)

KV1: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und KV2: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5/2 \\ -1/2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun kommt der interessante Teil, wenn ich es laienhaft ausdrücke bitte ich das zu entschuldigen:

Es wird nun eine Abbildung gesucht, die den ersten KV in den zweiten KV umrechnet, diese nenen wir S. dies soll eine Komposition der Koordinatenabbildung zu B2 sowie der inversen Koordinatenabbildung zu B1 sein, sprich S=KB2°KB1^-1 .

KB2 und KB1 gehen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ , ergo geht die inverse von KB1^-1 von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray*}$ .

Nach meinen Unterlagen soll ich nun zur Ermittlung von KB^-1 eine 2x2-Matrix ermitteln, die sich aus der Summe der Multiplikationen der Elemente des Koordinatenvektors mit den Basisvektoren von B1 ergibt.

Analog gilt selbiges für B2. Für mich ist das komisch denn ich erhalte immer wieder bei beiden den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ als Lösung, was ja auch Sinn macht da ich über dieses LG ja die Koordinatenvektoren ermittelt habe.

Die Komposition der beiden Abbildungen soll ja letztendlich zur Abbildung S führen, für die gilt:

KV1 = S * KV2 . S ist demnach eine 4x4-Matrix, aber ich komme nicht darauf den entscheidenen Schritt durchzuführen ? Falls Informationen fehlen bitte schreiben, ich ergänze das dann!

Vielen Dank

05.04.2008, 17:02

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein anderes Beispiel:
[Artikel] Basiswechsel

Wie sieht denn deine Rechnung hier konkret aus?

06.04.2008, 11:35

w!cked

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie oben beschrieben, war der VR sowie der Vektor x und die beiden Basen gegeben. Dazu habe ich die jeweiligen Koordinatenvektoren ermittelt (KV1 zu B1, KV2 zu B2).

Nun sollen die Koordinatenabbildungen $\begin{eqnarray*} KB_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} KB_{1}^{-1} \end{eqnarray*}$ berechnet werden, da S = $\begin{eqnarray*} KB_{2} \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} KB_{1}^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Die jeweiligen Abbildungen sollen multipliziert mit den Koordinatenvektoren eine 2x2-Matrix ergeben. Dafür werden dann die einzelnen Elemente der Vektoren mit den zugehörigen Basen multipliziert und man erhält wieder ein LGS, wo die Matrixeinträge über die Elemente der Koordinatenvektoren definiert werden. Da hier aber mit den zugehörigen Basen multipliziert wurde kommt man doch in beiden Fällen schlicht wieder auf den Vektor x ? Zudem soll man dann um S zu erhalten beide Koordinatenabbildungen nacheinander ausführen bzw. die Gleichungen des ersten LGS in die des zweiten einsetzen. Macht für mich aber keinen Sinn, da doch aufgrund der Berechnung der Koordinatenvektoren über die jeweilige Basis in beiden LGS als 2x2-Matrix wieder der ursprüngliche Vektor rauskommt und somit das Einsetzen der einen Gleichungen in die anderen zu nichts führt?

06.04.2008, 12:14

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vektorraum und der Vektor:

$\begin{eqnarray*} V =\mathbb R^{2,2}, \quad \vec{x} \in V,~ \vec{x}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Basen:

$\begin{eqnarray*} B_1=\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2=\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

Die Koordinaten bzgl. der Basen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = 1\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (2.5) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + (-0.5)\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir können also schreiben:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\2 \end{pmatrix}_{B_1}=\begin{pmatrix}3\\2.5\\-0.5\\-1 \end{pmatrix}_{B_2} \end{eqnarray*}$

Die nun gesuchte Abbildung rechnet ja nicht nur den Vektor x um, sondern generell die Koordinaten bzgl. der Basis B1 in die der Basis B2. Analog zu meinem Artikel ([Artikel] Basiswechsel) bezeichne ich nun die ersten Basisektoren mit v, die der zweiten Basis mit w). Was gilt dann?

$\begin{eqnarray*} w_1=0.5\cdot v_1+0 \cdot v_2+0\cdot v_3+0.5\cdot v_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2=0\cdot v_1+1\cdot v_2+1\cdot v_3+0\cdot v_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3=0\cdot v_1+1\cdot v_2+(-1)\cdot v_3+0\cdot v_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_4=0.5\cdot v_1+0\cdot v_2+0\cdot v_3+(-0.5)\cdot v_4 \end{eqnarray*}$

Nun sollte klar sein, wir die Matrix des Basiswechsels aussieht.

06.04.2008, 13:49

w!cked

Auf diesen Beitrag antworten »

Also den unteren Teil verstehe ich, du definierst die Vektoren von der zweiten Basis als Linearkombinationen der Vektoren der ersten Basis.

Wie man daraus dann aber auf die gesuchte 4x4-Matrix kommt sehe ich nicht. Ich gucke es mir wieder und wieder an, werde aber nicht schlau draus :-(

06.04.2008, 13:53

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja jetzt ist doch schon alles getan. unglücklich

Muss ich es Dir wirklich erst hinschreiben? Ich habe das Gefühl, Du liest den Link nicht. Denn eigentlich mag ich es nicht, mich zu wiederholen.

Zitat:

tigerbine
Tragen wir das jetzt mal spaltenweise in eine Matrix S ein:

Dann zeig mir doch mal, wie S nun aussieht.

06.04.2008, 14:06

w!cked

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, habe ich mir mehrfach angeguckt. Hat mich allerdings auch ein wenig verwirrt. Wenn ich den unteren Teil des Artikel richtig interpretiere brauche ich die Inverse der angesprochenen 4x4-Matrix und müsst dann die gesuchte Transformationsmatrix erhalten ?

Sprich hiervon die Inverse:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

06.04.2008, 14:13

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

06.04.2008, 14:25

w!cked

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einfach mal das Applet für die Inverse benutzt und die Inverse stimmt leider nicht mit der Lösung überein :-(

x1 x2 x3 x4
y1 0.50 0.00 0.00 0.50
y2 0.00 0.25 0.25 0.00
y3 0.00 0.17 -0.17 0.00
y4 0.50 0.00 0.00 -0.50

06.04.2008, 14:31

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, deine Matrix ist ja auch falsch. Wie kommst du auf die 2 und 3er? Da steht nix davon bei den v und ws.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} w_1=0.5\cdot v_1+0 \cdot v_2+0\cdot v_3+0.5\cdot v_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2=0\cdot v_1+1\cdot v_2+1\cdot v_3+0\cdot v_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3=0\cdot v_1+1\cdot v_2+(-1)\cdot v_3+0\cdot v_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_4=0.5\cdot v_1+0\cdot v_2+0\cdot v_3+(-0.5)\cdot v_4 \end{eqnarray*}$

Bitte nun selbst

code:
1: 2: 3: 4: 5:	maple S:= [.5, 0, 0, .5], [0, 1, 1, 0] [0, 1, -1, 0] [.5, 0, 0, -.5]])

Die Inverse lautet dann:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:

maple

                   [1.000000000 ,  0 , 0 , 1.000000000]
                   [                                  ]
                   [0 ,  .5000000000 , .5000000000 , 0]
              T := [                                  ]
                   [0 , .5000000000 , -.5000000000 , 0]
                   [                                  ]
                   [1.000000000 , 0 , 0 , -1.000000000]

06.04.2008, 15:11

w!cked

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da hast du recht. Da habe ich mich beim Aufstellen wohl vertan. Also kann ich zusammenfassen:

Um die Transformationsmatrix von Koordinatenvektoren für einen Basiswechsel zu berechnen stelle ich ein LGS auf, bei dem die Basen der Basis1 als Linearkombinationen der Basis2 dargestellt werden. Diese Faktoren schreibe ich als Matrix auf und Suche die Inverse, dann habe ich die Transformationsmatrix ?

06.04.2008, 15:13

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du die Matrix wie im Artikel aufstellst, dann ja. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Transformation der Koordinatenvektoren bei Basiswechsel

Verwandte Themen