Komplexe Analysis - Cauchy-Integral-Formel

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pingu Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Analysis - Cauchy-Integral-Formel
Hallo zusammen,

ich hab eine Frage zur Cauchy-Integral-Formel (CIF). Ich verstehe erhrlich gesagt nicht ganz, wie man die richtig benutzt.

Also ich müsste folgendes integrieren(bin nach einige Rechenumformungen dazugekommen):
.

Das Ergebnis sollte dann ergeben.

Was muss ich jetzt da genau machen...?

lg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte erkläre die Bezeichnungen der Vorlesung: Was ist ? Bei D denke ich ja irgendwie an disk, also Kreisscheibe.
Ob das wohl stimmt? verwirrt
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, damit ist ein Disk gemeint. Das steht eigentlich für so ein Ableitungs-d. Aber so ein Zeichen hab ich im Formeleditor eben nicht gefunden.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pingu
Ja genau, damit ist ein Disk gemeint. Das steht eigentlich für so ein Ableitungs-d. Aber so ein Zeichen hab ich im Formeleditor eben nicht gefunden.


Das ist in diesem Fall kein Ableitungs-d, sondern ein Rand-d.

EDIT: Und was das für eine Kreisscheibe ist, hast du uns immernoch nicht verraten. Das spielt hier nämlich durchaus eine Rolle.
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie meinst du, dass da noch was dezustehen sollte, es stand eigntl einfach das da, was hier als Integral beschrieben wird. Grafisch dargestellt ist es ein Kreis mit Mitelpunkt 2i und Radius 2.

lg
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Aber gerade das ist entscheidend, ob du mit deinem Weg um eine Nennernullstelle herum läufst oder nicht.


Das heisst aber mit dem Kreis um mit Radius 2 läufst du um keine der Nennernullstellen herum. Das heisst innerhalb der Kreisscheibe sind die Funktionen die integriert werden holomorph. Was passiert dann mit dem Wegintegral?
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Analysis - Cauchy-Integral-Formel
Zitat:
Original von pingu
Das Ergebnis sollte dann ergeben.


Das ist aber falsch. Kann es sein, dass in den Nennern z-i und z+i stehen statt z-1 und z+1? Dann stimmt das Ergebnis nämlich.
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Hm.. Ich hab nochmals auf dem Blatt nachgeguckt, aber da stand es da, wie ich es notiert habe. Vllt hat es auch einen Fehler in der Aufgabenstellung....

Aber mir geht es eingtl hauptsächlich darum, was ich genau machen muss. Also es kann auch ein anderes Beispiel sein, an dem du mir das demonstrieren könntest. Es geht mir mehr ums WIE.

lg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pingu
Hm.. Ich hab nochmals auf dem Blatt nachgeguckt, aber da stand es da, wie ich es notiert habe.


Da melde ich ernste Zweifel an. Du mußt uns schon genau erklären, wie dieses merkwürdige in der Vorlesung definiert wurde. Ohne Angabe des Radius ist dieses Aufgabe nämlich nicht lösbar, zumindest nicht im Sinne eines konkreten Zahlenwertes.

Oder soll es vielleicht gar nicht , sondern heißen? verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, du sagst mal eher, was du nicht verstehst...
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich verstehe einfach allg. nicht, wie man die Cauchy-Integral-Formel an einem konkreten Beispiel anwendet, also was da die folgenden Schritte sind. Ich hab Google mal nach Beispielen durchforstet, bin aber nicht auf ein zufriedenstellendes Ergebnis gekommen (also ich habs nich gecheckt).

@Leopold
Es stimmt, beim Disk müsste da richtig stehen: .

lg
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ein Beispiel. Sei r > 0 und Was ist dann



wenn ?
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Eben da happerts bei mir schon, ich weiss nicht, was das z im Nenner bedeuten soll...

lg
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
Guck dir einfach die Formel an, dann siehste, was das z bedeutet... Das z ist einfach eine Variable, die nach der Integration noch übrig bleibt. Mit z_0 hat das z übrigens nichts am Hut, außer, dass es im Kreis mit Radius r um z_0 drin liegen muss, also die Polstelle muss im Kreis liegen.
Zum berechnen verwendest du ganz einfach die CIF, da gibts nichts zu überlegen...einfach einsetzen.
mfG 20
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Hm.. ok.

Also jetzt in meinem Falle könnte ich das so umschreiben, um auf die Standardformel zu bringen: (siehe unten)

Und dann z gleich setzen?

lg
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, Pingu. Aber du stellst dich schon etwas blöd an. Bitte poste doch mal die Cauchysche Integralformel und den dazugehörigen Satz, so wie du ihn gelernt hast.
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

So :.

Und weiter hab ich nachgeschlagen, dass das auch gilt:
.

lg
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pingu
So :.


Man, pingu, das gibts doch nicht! Wenn du einfach nicht das befolgen willst, was ich dir sage, dann hat das alles keinen Sinn. Das ist nicht die komplette CIF, und den Satz, der dazugehört, hast du auch nicht abgeschrieben. So kann man dir nicht helfen.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber das ist Unsinn. Die erste Zeile ist ein Term, damit kannst du nichts anfangen.

Bei der zweiten Zeile ists wenigstens ne Gleichung, wenn auch eine falsche. Einmal 2*pi ist falsch, außerdem wirfst du z und alpha durcheinander... Wichtig ist: Du brauchst eine Integrationsvariable, die heißt üblicherweise zeta, einen Mittelpunkt, der heißt z_0, und eine Variable z.
Das alpha solltest du wieder vergessen, wie du oben schon gesagt hast, meintest du eigentlich , das ist aber keine Variable, sondern bezeichnet nur den Rand von einem Gebiet.
mfG 20
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