Ein Problem mit dem Lebesgue-Integral

05.04.2008, 21:21

beuteltier

Ein Problem mit dem Lebesgue-Integral

ich versuche gerade folgendes problem zu lösen (die gleiche problemstellung wurde hier schon für das riemann-integral besprochen):

sei g beschärnkt und T-periodisch und lebesgue-messbar, f eine lebesgue-integrierbare funktion. es gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n%20\to%20\infty%20}%20%20\int_{\mathbb R}~f(x)g(nx)~dx%20=%20\int_{\mathbb R}~f(x)~dx%20 \cdot \frac{1}{T} %20\int_{0}^{T}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

wie zeige ich das mit den definitionen und sätzen von lebesgue-maß und lebesgue-integral?
bin da irgendwie in der abstrakten maßtheorie verloren verwirrt

05.04.2008, 21:41

beuteltier

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ich habe mal versucht, folgendes maß zu definieren:

$\begin{eqnarray*} h_n(x) = nx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu_n(E) = \int_{E}~g\circ h_n~dx \end{eqnarray*}$

dann müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} I_n = \int_{\mathbb R}~(g\circ h_n) f ~d\lambda = \int_{\mathbb R}~f~d\mu \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich wohl zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \mu_n(E) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}~g~d \lambda \cdot \lambda(E) \end{eqnarray*}$

nur was jetzt?

06.04.2008, 11:59

beuteltier

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hmm vielleicht jemand mit einem anderen ansatz?

06.04.2008, 19:52

WebFritzi

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Ja, ich.

Ich hab aber ziemlich lange nachgegrübelt. Zunächst einmal gilt für alle reellen Zahlen a und b mit a < b:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \int_a^b g(nx)\,dx = \frac{b-a}{T} \int_0^T g(t)\,dt. \end{eqnarray*}$

Es reicht, dies für a = 0 zu zeigen. Die Funktion g(nx) hat die Periode T/n. Wir wählen eine natürliche Zahl k so, dass

$\begin{eqnarray*} b = k\cdot \frac{T}{n} + \varepsilon_n \end{eqnarray*}$ gilt mit $\begin{eqnarray*} 0 \le \varepsilon_n < \frac{T}{n}. \end{eqnarray*}$

Dann gilt (mit Anwendung des Transformationssatzes und der Periodizität von g)

$\begin{eqnarray*} \int_0^b g(nx)\,dx &=& \int_0^{\frac{kT}{n}} g(nx)\,dx + \int_{\frac{kT}{n}}^{\frac{kT}{n} + \varepsilon_n}g(nx)\,dx\\ &=& k\int_0^{\frac{T}{n}} g(nx)\,dx + \int_0^{\varepsilon_n} g(nx)\,dx\\ &=& \frac{k}{n}\int_0^T g(u)\, du + \frac{1}{n}\int_0^{n\varepsilon_n}g(u)\,du. \end{eqnarray*}$

Der zweite Summand strebt wegen

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{n}\int_0^{n\varepsilon_n}g(u)\,du\right| \le \frac{1}{n}\int_0^T|g(u)|\,du \end{eqnarray*}$

gegen Null. Da $\begin{eqnarray*} \frac{k}{n} = \frac{b-\varepsilon_n}{T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon_n\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty, \end{eqnarray*}$ folgt die Behauptung.

Jetzt muss ich ansagen, was ich mit einer Treppenfunktion meine: Eine Treppenfunktion ist eine Funktion h, zu der es endlich viele paarweise disjunkte, beschränkte Intervalle gibt, so dass h auf jedem dieser Intervalle konstant ist.

Wir haben oben gezeigt, dass für jede Treppenfunktion h gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}h(x)g(nx)\,dx = \frac{1}{T}\left( \int_{\mathbb{R}}h(x)\,dx\right)\left(\int_0^T g(t)\,dt\right). \end{eqnarray*}$

Nach [Königsberger, Analysis II] ist die integrierbare Funktion f in $\begin{eqnarray*} L^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ durch Treppenfunktionen approximierbar, d.h., es gibt eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_k) \end{eqnarray*}$ von Treppenfunktionen, so dass

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} |f(x) - f_k(x)|\,dx \to 0 \;\text{ für }\; k\to\infty. \end{eqnarray*}$

Damit und mit

$\begin{eqnarray*} \left| \int_{\mathbb{R}} f(x)g(nx)\,dx - \frac{1}{T}\left( \int_{\mathbb{R}}f(x)\,dx\right)\left(\int_0^T g(t)\,dt\right)\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \le \left| \int_{\mathbb{R}} f(x)g(nx)\,dx - \int_{\mathbb{R}} f_k(x)g(nx)\,dx \right| &+& \left| \int_{\mathbb{R}} f_k(x)g(nx)\,dx - \frac{1}{T}\left( \int_{\mathbb{R}}f_k(x)\,dx\right)\left(\int_0^T g(t)\,dt\right)\right|\\ &+& \left| \frac{1}{T}\left( \int_{\mathbb{R}}f_k(x)\,dx\right)\left(\int_0^T g(t)\,dt\right) - \frac{1}{T}\left( \int_{\mathbb{R}}f(x)\,dx\right)\left(\int_0^T g(t)\,dt\right) \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \le \left( \|g\|_\infty + \frac{1}{T}\left| \int_0^T g(t)\,dt\right|\right)\cdot \int_{\mathbb{R}}|f - f_k|\,d\lambda + \left| \int_{\mathbb{R}} f_k(x)g(nx)\,dx - \frac{1}{T}\left( \int_{\mathbb{R}}f_k(x)\,dx\right)\left(\int_0^T g(t)\,dt\right)\right| \end{eqnarray*}$

folgt dein Satz.

07.04.2008, 21:13

WebFritzi

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Kommt von dir auch eine Rückmeldung?

08.04.2008, 21:28

WebFritzi

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Da geb ich mir Mühe und denke stundenlang über dein Problem nach, löse es, und du gibst darauf nicht einmal eine Rückmeldung. Ich finde dein Verhalten voll daneben, sorry!

08.04.2008, 21:51

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Vielleicht geduldest du dich mal noch ein wenig länger als die zwei Tage? Ich kann mich sehr gut an einen Thread erinnern, wo ich mal nach 14 Tagen mein Missfallen über eine ausbleibende Reaktion des Fragestellers geäußert habe - da hat mich gleich einer belehren wollen, dass das kindisch sei... Augenzwinkern

08.04.2008, 21:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Vielleicht geduldest du dich mal noch ein wenig länger als die zwei Tage?

Ja, OK. Wahrscheinlich hast du recht. Hoffentlich habe ich zu früh gebrüllt.

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich kann mich sehr gut an einen Thread erinnern, wo ich mal nach 14 Tagen mein Missfallen über eine ausbleibende Reaktion des Fragestellers geäußert habe - da hat mich gleich einer belehren wollen, dass das kindisch sei... Augenzwinkern

Nach 14 Tagen ist das nicht kindisch, denn man erwartet doch zumindest ein "Danke" o.ä., wenn man sich schon so intensiv mit dem Problem einer anderen Person beschäftigt. Aber ich gehe mal davon aus, dass du diesen Vorwurf nicht auf dir hast sitzen lassen. Augenzwinkern

20.04.2008, 16:12

WebFritzi

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So, ich denke, jetzt darf ich aber mal meckern. Ich hab dir sogar eine PN geschrieben, beuteltier. Aber du meldest dich einfach nicht. Trotzdem habe ich dich zwischendurch hier auf dem Board gesehen. Was denkst du dir eigentlich dabei? Ich find's richtig scheiße von dir!

21.04.2008, 01:13

WebFritzi

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Nehme alles zurück. Das beuteltierchen hat sich soeben bei mir per Email entschuldigt. So hat der Thread dann doch noch seinen friedvollen Abschluss gefunden. smile

21.04.2008, 15:02

beuteltier

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ja, ich war zu dusselig.

und das, wo der beweis genau den stil hat, wie ich ihn mag Freude

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Ein Problem mit dem Lebesgue-Integral

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