Schnittpunkt: Kurve und Tangente

05.04.2008, 21:46

Lion&Mars

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Schnittpunkt: Kurve und Tangente

Hi Leute,

Wink

ich habe da mal eine Frage. Ich muss den Schnittpunkt einer Kurve mit einer Tangenten bestimmen.

Die Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=x³. Ihr Graph sei K.

a) Die Tangente an K (K=Kurve) in B(1|1) schneidet im Punkt P.
Bestimmen Sie P.

Meine Vorgehensweise:

1. Ableitung von f(x)=x³ --> f'(x)= 3x²

2. Die Steigung der Ableitung
in die Geradengleichungeinsetzen: [g(x)=mx+b ; B(1|1)]

1=3*1+b |-3
-2=b

g(x) = 3x-2

3. f(x) = g(x) ...
x³ = 3x² - 2 | -(3x²-2)

x³ - 3x² + 2 = 0

Ja...,mmh..... und da bleibe ich irgendwie stecken. Jetzt müsste ich (denk ich mal) mit Polynomdivision weiter kommen, aber ich weiß nicht wie ich das anstellen
soll verwirrt

verwirrt

(ich komme einfach nicht drauf!!!).

05.04.2008, 22:02

tigerbine

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RE: Schnittpunkt: Kurve und Tangente

Zitat:

Die Tangente an K (K=Kurve) in B(1|1) schneidet im Punkt P.
Bestimmen Sie P.

Schneidet was in P?

05.04.2008, 22:04

Romaxx

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Hallo,

Zitat:

g(x) = 3x-2

3. f(x) = g(x) ...
x³ = 3x² - 2 | -(3x²-2)

Wie wird aus deinem x aufeinmal ein x²?

Zur Polynomdivision: Du hast doch schon eine "Nullstelle" gegeben. Welche ist das?

Gruß

05.04.2008, 22:29

Lion&Mars

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Also,

...'tschuldigt Leute, habe mich gleich zwei mal vertippt

erstens zu Tigerbiene: "Die Tangente an K in B(1|1) schneidet K im Punkt P."

Zweitens zu Romaxx : Auch da hab ich mich vertippt, es heißt: x³-3x+2 = 0

Irgendjemand meinte, man müsste die Polynomdiviion so aufstellen:

x³ -3x+2 : (x-1) = x²+x-2
-(x³-x²)
x²-3x
-(x²-x)
-2x+2
0

aber ich weiß nicht, wie er/sie auf die (x-1) kommt. Ich bin irritiert !!!

05.04.2008, 22:39

tigerbine

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Aha. Dann schauen wir doch mal

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$

Tangentengleichung

$\begin{eqnarray*} t(x)=1 + 3\cdot (x-1) = 3x-2 \end{eqnarray*}$

Schnittpunktberechnung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=t(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3=3x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3-3x+2=0 \end{eqnarray*}$

Eine Nullstelle kennst Du schon. Bei x=1. Daher komm die PD mit (x-1)

06.04.2008, 09:26

Lion&Mars

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Gut, jetzt habe ich zwar die 1. Nullstelle, aber was bringt mir die. Ich muss ja den Schnittpunkt der Tangente mit der Kurve berechnen. Ich habe die Graphen auch schon mittels Funky-plot zeichnen lassen, das ist nicht das Problem, aber wie soll ich den Schnittpunkt berechnen.
Brauche ich die Nullestellen denn, um den Schnittpunkt zu berechnen??? verwirrt

verwirrt

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06.04.2008, 10:07

tigerbine

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Du suchst Schnittpunkte oder umgestellt eben Nullstellen. Einen Schnittpunkt kennst Du, also eine Nullstelle. Dann liegt doch nun eine PD, wie sie dein Freund vorgeschlagen hat nahe. Denn dann eben abc oder pq Formel. Aber das wurde schon alles gesagt.

$\begin{eqnarray*} f(x)=t(x) \Leftrightarrow f(x)-t(x)=0 \end{eqnarray*}$

06.04.2008, 11:46

Lion&Mars

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jo, es hat Klick gemacht. Mit Polynomdivision muss ich mich wohl noch mal näher befassen!!!.

Okay, dann danke ich allen die mir auf die Sprünge geholfen haben, ne... Freude

Freude

P.S Manchmal hilft ein kräftiger Schlag auf den Forum Kloppe

Forum Kloppe

doch weiter!
Den Rest schaff ich dann allein.

Ciao Wink

Wink

06.04.2008, 12:15

tigerbine

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Wink

06.04.2008, 16:03

Lion&Mars

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ha! Ich bin doch noch nicht so ganz fertig smile

smile

Das voher war Aufgabe a).
Bei der Aufgabe b) steht:
Die Tangente an K in dem beliebigem Punkt B(xs|xs³) mit xs ungleich 0 schneidet K im Punkt P.
Bestimmen Sie P die Abhängigkeit von xs.

So, ich habe folgendes hingeschrieben, aber weiß absolut nicht, ob das zutreffend ist!

1. Ableitung von f(x)=x³ --> f'(x) = 3x²
2. In Abhängigkeit zu xs --> f'(xs)=3(xs)²
3. Tangentengleichung --> xs³ = 3(xs)²+b

Ja und jetzt weiß ich nicht weiter, wenn es überhaupt richtig ist, was ich da hingeschriebn habe! Ohje...., naja, warten wir's mal ab.

Wäre schön wenn mir da jemand helfen könnte Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.04.2008, 16:10

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f(x)=&&x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x)=&&(x_s)^3+f'(x_s)\cdot (x-x_s) \\&&= x_s^3+3x_s^2\cdot (x-x_s) \\&&=3x_s^2\cdot x - 2x_s^2 \end{eqnarray*}$

06.04.2008, 18:50

Lion&Mars

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Wow, kurze knappe Antwort, hat echt keinen Redebedarf !
(Nagut, da steig ich schon allein durch.)

Danke für diese preziese schnelle Antwort.
Ciao Wink

Wink

07.04.2008, 07:57

Lion&Mars

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So, ich habe gottseidank noch was gefunden was mir sehr viel weitergeholfen hat und schreibe es hier noch mit rein, damit auch andere Mitglieder etwas davon haben. smile

smile

Tangente

Gleichung der Tangente an einen Funktionsgraphen

Wenn die Tangente an einen Funktionsgraphen im Punkt P(xp|f(xp) gesucht ist,
so bestimmt man zunächst die Steigung f'(xp) des Graphen in P,
denn Tangente und Graph haben ja dieselber Steigung,
und stellt dann die Tangentengleichung (mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form) auf:

Punkt-Steigungs-Form:

y = m(x - xp) + yp

Tangentengleichung:

y= f'(xp) (x-xp) + f(xp)

Meine Lösung:

y=f'(xs) * (x-xs) + (xs³)

= 3xs² * (x-xs) + xs³

= 3xs² * x - 3xs³ + xs³

= 3xs² * x - 2xs³

So, damit wäre Aufgabe b gelöst. Ciao Wink

Wink

07.04.2008, 09:19

tigerbine

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Diese Gleichung hatte ich dir schon genannt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da ich auch in einer früheren Antwort diese Darstellung verwendet hatte und diesbezüglich keine Fragen kamen, fiel meine Antwort eben kurz und bündig aus.

Wer mehr wissen will, sollte sich mit Taylorpolynomen beschäftigen (hier gilt n=1)

07.04.2008, 09:50

mYthos

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Lion&Mars

Bitte mit ROT und FETT weit sparsamer umgehen! Am besten gar nicht, wenn's nicht unbedingt sein muss.

Und:

präzise (nicht: preziese)

mY+

09.04.2008, 16:29

Lion&Mars

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Zu Tigerbiene:
Entschuldige bitte, ich kannte die Tangentengleichung noch nicht und ich wusste nicht, was du da gemacht hattest. Deshalb war ich auch so eien bisschen patzig, weil ich dachte, wenn der/die mir schon einen vorrechnet, dann sollte derjenige es mir wenigstens erläutern.
Nagut, war mein Fehler, seh ich auch ein, aber ich kann es ja jetzt. Mir reichtmeist ein kleiner Hinweiß wie z.B -> siehe Tangentengleichung schon aus, dann weiß ich schon, was ich zu tun habe. Ein kleiner Hinstoßer reicht oft schon aus, um einen Erfolg zu erzielen.

Vielen Dank nochmal Hammer

Hammer

09.04.2008, 18:56

tigerbine

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Schwamm drüber. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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