Partialbruch

26.09.2005, 16:21

ReneS79

Partialbruch

Hallo!

Ich verzweifle bald an folgender Aufgabe, die per PBZ gelöst werden soll.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{-2x^3+4x^2+22x-6}{3x^4-9x^2+6x}~dx \end{eqnarray*}$

Diesen kann ich ja in Nenner umschreiben
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{-2x^3+4x^2+22x-6}{3x*(x-1)^2*(x+2)}~dx \end{eqnarray*}$

Für den Ansatz würde das dann folgendes bedeuten

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{-2x^3+4x^2+22x-6}{3x*(x-1)^2*(x+2)}~dx=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Nun denn Nenner von der linken Seite rüber

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{-2x^3+4x^2+22x-6}{3x*(x-1)^2*(x+2)}~dx=A*3x*(x-1)^2+B*3x*(x-1)*(x+2)+C*3x*(x+2) \end{eqnarray*}$

Das noch alles ausmultipliziert und dann Koeffizientenvergleich gemacht

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 3 & 0 & = -2\\ -6 & 3 & 3 & = 4 \\ 3 & -6 & 6 & = 22 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ergibt bei mir für A=2/9 für B=-8/9 und C=8/3

Was irgendwie nicht stimmen kann. Das Ergebnis, was eigentlich rauskommen soll ist... $\begin{eqnarray*} -ln|x|-\frac{2}{x-1} + \frac{1}{3}*ln|x+2| \end{eqnarray*}$

Habe aber auch keine Ahnung, wo der Fehler liegen könnte. Ich vermute aber mal, das ich irgendwas mit dieser 3x falsch machen könnte. Der Ansatz müsste theoretisch soweit in Ordnung sein.

Wäre nett, wenn ihr euch das mal angucken könnt.

Danke
René

26.09.2005, 16:26

Leopold

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Ohne es durchgerechnet zu haben, fällt mir auf, daß du den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in deinem Nenner hast, ihn bei der Partialbruchzerlegung aber nicht berücksichtigst.

26.09.2005, 16:44

ReneS79

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Wie meinst das? Das x von der 3x???

Ich kenne nur diese Ansätze. Ich habe auch ein ähnlich Bsp. nur das es da im Nenner z.B. 3*(x-1)²*(x+2). Also im Prinzip das selbe, nur das an der 3 kein x ist. Der Ansatz vom PZB ist hingegen der gleich wie bei mir.

26.09.2005, 16:47

Lazarus

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viel günstiger wäre es den nenner aufzuspalten in:
$\begin{eqnarray*} x \cdot 3(x-2) \cdot (x-1)^2 \end{eqnarray*}$

damit kommste weiter Augenzwinkern

in der dritten zeile beim ansatz umsetzten .. des versteh ich ned ganz was du da gemacht hast...

servus

//edit: oh ich merke gerade das das dann nur schönheitskosmetik ist.
dein ergebnis ist richtig !

26.09.2005, 16:52

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@ReneS79

Wie Leopold bereits erwähnte, muss dein PBZ-Ansatz

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{-2x^3+4x^2+22x-6}{3x*(x-1)^2*(x+2)}~dx=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}+\frac{D}{x} \end{eqnarray*}$

lauten.

26.09.2005, 16:55

Leopold

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Vielleicht noch ein Tippp: $\begin{eqnarray*} x = x+0 \end{eqnarray*}$

So kannst du z.B. $\begin{eqnarray*} x \cdot (x+7) \cdot (x-13) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} (x+0) \cdot (x+7) \cdot (x-13) \end{eqnarray*}$ lesen

26.09.2005, 16:58

ReneS79

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Das Ergebnis, was ich da hingeschrieben habe, ist nichts meins. Das soll rauskommen.

Aber wenn ich mir so meine Koeffizienten schon Anschaue, diese dann einsetze und dann integrieren, dann komme ich eben nicht auf diese Erg.

Zum Ansatz: Das macht man laut Lehrbuch so. Daran halte ich mich eigentlich immer. Hat bis jetzt auch wunderbar gefunzt.

gruss
René

26.09.2005, 17:08

Leopold

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Zitat:

Original von ReneS79
Aber wenn ich mir so meine Koeffizienten schon Anschaue, diese dann einsetze und dann integrieren, dann komme ich eben nicht auf diese Erg.

Eben. Weil du - ich sage es noch einmal - den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht berücksichtigst.

26.09.2005, 19:12

ReneS79

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Ich nochmal. Jetzt sieht mein Erg. schon besser aus, außer das ich irgendwie einen Term zuviel im Erg. hab. Entweder gibts dazu jetzt einen Trick zum Umstellen oder ich weiss auch nicht.

Hier mal mein Erg. jetzt

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{3}*ln |x+2| - ln|x-1|-\frac{2}{x-1} + ln |x|+C \end{eqnarray*}$

Wie ihr seht, ist der zweite Term im obrigen Erg. nicht da bzw. das Vorzeichen im letzten Term ist auch negativ.

Hab ich da irgendwo einen noch einen Fehler gemacht?

Achso, die Koeffizienten A=1/3, B=-1, C=2, D=1

Danke
René

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