Mtrixnormen

06.04.2008, 08:34

bianca

Mtrixnormen

Hi hilfe!!!!
ich hab bei einer Matrix die Zeilensummennorm, Spaltensummennorm, Frobenius-Norm und die Spektralnorm zu bestimmen könnt ihr mir vielleicht sagen ob ich dies richtig gemacht habe?
DANKE für eure hilfe!! glg bianca

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

[*]Zeilensummennorm ||A|| = max $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~|aik| \end{eqnarray*}$ = max{|a11+a12|;|a21+a22|} = {|1+2|;|3+7|} = max{3; 10} = 10 also Zeilensummennorm von A ist gleich 10 ??????
[*]Spaltensummennor||A|| = max $\begin{eqnarray*} \sum_{1=1}^n~|aik| \end{eqnarray*}$ = max{|a11+a21|;|a12+a22|} = {|1+3|;|2+7|} = max{4; 8} = 8 also Spaltensummennorm von A ist gleich 8 ??????
[*]Frobenius-Norm ||A|| = $\begin{eqnarray*} [\sum_{i,k=1}^n~aik^{2}]^ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a11^2+a12^2+a21^2+a22^2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+4+9+49} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{63} \end{eqnarray*}$ Also für die Frobenius-Norm werden alle Elemente der matrix quadriert und ausummiert und die wurzel gezogen????????
[*]Spektralnorm stimmt dass wenn matrix symetrisch..ist sie ja in diesem falle...ist es der Eigenwert der Matrix ????

06.04.2008, 11:17

therisen

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RE: Mtrixnormen

Zitat:

Original von bianca
[*]Spaltensummennor||A|| = max $\begin{eqnarray*} \sum_{1=1}^n~|aik| \end{eqnarray*}$ = max{|a11+a21|;|a12+a22|} = {|1+3|;|2+7|} = max{4; 8} = 8 also Spaltensummennorm von A ist gleich 8 ??????

Tipp: 2+7=9 Augenzwinkern

Außerdem hast du Glück, dass alle Zahlen positiv sind. Korrekterweise müsstest du $\begin{eqnarray*} \max(|a_{11}|+|a_{21}|, |a_{12}|+|a_{22}|) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Zitat:

Original von bianca
[*]Frobenius-Norm ||A|| = $\begin{eqnarray*} [\sum_{i,k=1}^n~aik^{2}]^ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a11^2+a12^2+a21^2+a22^2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+4+9+49} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{63} \end{eqnarray*}$

Schreib doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{63}=3\sqrt7 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Zitat:

Original von bianca
[*]Spektralnorm stimmt dass wenn matrix symetrisch..ist sie ja in diesem falle...ist es der Eigenwert der Matrix ????

Nein, außerdem ist die Matrix nicht symmetrisch.

06.04.2008, 17:05

bianca

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RE: Mtrixnormen
Hi therisen!

danke für deine schnelle antwort!!
stimmt die beträge hab ich voll vergessen Danke!!!!!!!
aber sonst passt dass mit den ersten drei Matrixnormen???? verwirrt

ad Spektralnorm)..... stimmt ist nicht symmetrisch... also muss ich den max eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^{T}* A \end{eqnarray*}$ berechnen und daraus die wurzel ziehen???

also $\begin{eqnarray*} A^{T} * A \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 & 23 \\ 23 & 53 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A^{T}* A \end{eqnarray*}$ wären $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\frac{63}{2}+\sqrt{\frac{3969}{4}-1} \end{eqnarray*}$ verwirrt

$\begin{eqnarray*} \lambda_2=\frac{63}{2}-\sqrt{\frac{3969}{4}-1} \end{eqnarray*}$ ???????????? verwirrt

aslo wäre die Spektralnorm von A ... $\begin{eqnarray*} ||A||_2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda_1} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ der max Eigenwert ist????? unglücklich

Danke für deine Hilfe!!!!!! Gott

glg bianca

06.04.2008, 17:53

therisen

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Ja, man erhält dann für die letzte Matrix den Wert $\begin{eqnarray*} \frac12\left(\sqrt{61}+\sqrt{65}\right) \end{eqnarray*}$ .

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