Grenzwert (mit L'Hospital)

06.04.2008, 11:40	theMinimalist	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert (mit L'Hospital) Hallo, ich habe in Kürze eine Klausur, und übe deswegen das eine oder andere Beispiel. Folgendes kam zur letzten Klausur, deswegen wollte ich es lösen (es könnte sogar sein dass meines so passt) Meine größte Sorge ist das Ableiten (wir haben das bis zur Matura eigentlich nie mit den ganzen Regeln gemacht, sondern nur ganz einfache Polynome, deswegen schwimme ich etwas, und kann mir nicht "selbst helfen" ) Folgende Angabe: Bestimmen sie folgenden Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x} - e^{\sin x}}{x-\sin x} } \end{eqnarray}$ Was ja so $\begin{eqnarray} \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ aussehen würde. Jetzt darf ich L'Hospital verwenden und leite ich f'(x) und g'(x) ab. (der Zähler = f(x); Nenner = g(x)) Ich erhalte: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x} - e^{\sin x}\cos x}{1-\cos x} } = \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ dann: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x} - [e^{\sin x} * \cos^{2} x + e^{\sin x}(-\sin x)]}{\sin x} }=\frac{0}{0} \end{eqnarray}$ und nun: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x} - [e^{\sin x} cos x * \cos^{2} x + e^{\sin x}2\sin x + e^{\sin x} \cos x * (-\sin x) + e^{\sin x} * (-\cos x)]}{\cos x} }=\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$ Stimmt das so? - oder lacht ihr euch schon kaputt was ich da mache? Wäre super, wenn mir jemand kurz helfen könnte, dann wüsste ich, denke ich, von alleine bei den weiteren Beispielen weiter... (Latex hat mich jetzt aber auch ganz schön gefordert )
06.04.2008, 12:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand lacht, denn der Grenzwert ist richtig Vor dem 2. Mal Ableiten hättest du zuerst noch etwas zusammenfassen können, ausklammern und dann erst ableiten ... mY+
06.04.2008, 12:03	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
das geht jedoch deutlich einfacher und schneller, wenn man im zähler $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ausklammert. dann muss man nur noch $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{1-e^{\sin x - x}}{x-\sin x} \end{eqnarray}$ berechnen, da muss man nur einmal ableiten und dann kürzt sich schon wunderbar was raus.
06.04.2008, 12:10	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert (mit L'Hospital) Hallo, Es hat sich trotzdem ein kleiner Fehler eingeschlichen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x} - [e^{\sin x} cos x * \cos^{2} x + e^{\sin x}\fbox{$(-2\sin x\cos x)$} + e^{\sin x} \cos x * (-\sin x) + e^{\sin x} * (-\cos x)]}{\cos x} }=\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$ Gruß
06.04.2008, 12:33	theMinimalist	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke für eure schnellen Antworten, ich glaub jetzt komme ich alleine weiter

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