Taylor-Polynom: Approximationsfehler abschätzen

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06.04.2008, 15:18	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Polynom: Approximationsfehler abschätzen Zu der Funktion $\begin{eqnarray} e^{-x}(cosx-sinx) \end{eqnarray}$ soll das Taylorpolynom 2. Grades am Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_{o}=0 \end{eqnarray}$ berechnet werden. Kein "Problem" , also schnell 2 mal abgeleitet und dazu noch die Werte von f(0), f'(0) und f''(0) berechnet. Das entsprechende Taylorpolynom lautet dann: $\begin{eqnarray} 1-2x+x^{2} \end{eqnarray}$ Nun soll der Approximationsfehler $\begin{eqnarray} \|R_{2}(x)\| \end{eqnarray}$ auf dem Intervall [-1:1] berechnet werden. Da die dritte Ableitung f'''(x) = $\begin{eqnarray} -4e^{-x}( \sin(x) ) \end{eqnarray}$ lautet, ist $\begin{eqnarray} R_{2}(x) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} -\frac{4e^{-\epsilon}sin \epsilon }{6} x^{3} \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter, wie ich $\begin{eqnarray} \|R_{2}(x)\| \end{eqnarray}$ berechne ? Mein $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ liegt ja zwischen x und $\begin{eqnarray} x_{o}=0 \end{eqnarray}$ , wähle ich dann ein beliebiges? Und wie fließt das Intervall mit ein ?
06.04.2008, 19:03	David II	Auf diesen Beitrag antworten »
Du nimmst ein epsilon, für das der Fehler maximal wird (und das im Intervall liegt). Oder du schätzt großzügiger nach oben ab und schmeißt den Sinus raus, der alterniert ja sowiso nur zw -1 und 1.
06.04.2008, 21:02	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, und was nimmt man für x ? Bezieht sich das auch auf den Entwicklungspunkt und ich nehme einfach wieder 0 für x?
06.04.2008, 21:26	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
x liegt in [-1,1].
06.04.2008, 21:29	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Das tut 0 ja. Also wähle ich sowohl Epsilon als auch X aus dem Intervall, nach Lust und Laune ???
06.04.2008, 21:32	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, sondern so, dass der Fehler maximal wird.
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06.04.2008, 21:37	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nehme ich 1, den größten Wert innerhalb des Intervalls ? Oder sehe ich das falsch?
06.04.2008, 21:40	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das siehst du ganz richtig.
06.04.2008, 21:46	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Und Epsilon wähle ich nun zwischen 0 und x, also 0 und 1. 0 geht nicht da ich sonst mit sin0=0 einen Faktor Null habe und der ganze Fehler Null wird. Also nehme ich auch für Epsilon 1 und habe dann 2e/3 als Lösung, richtig ?
06.04.2008, 21:52	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles falsch. Erstens, wenn du epsilon = 1 wählst, hast du 1/e und nicht e. Zweitens ist epsilon = 1 falsch, da e^{-epsilon} monoton fällt.
06.04.2008, 22:00	David II	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, ich würde den Sinus rausschmeißen. Dann ist der wahre Fehler immernoch <= von dem, was du ausrechnest. Dann kannst du dein epsilon auch wieder passend wählen. So haben wir das immer gemacht und letztlich hast du ja dann ein Intervall, in dem der Funktionswert ganz sicher liegt.
06.04.2008, 22:01	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber Epsilon muss doch zwischen 0 und 1 liegen. Wenn eins falsch ist bleibt ja nur die Null übrig, und dann habe ich doch oben den Faktor Null im Zähler?
06.04.2008, 22:11	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
x kann auch -1 sein...
06.04.2008, 22:27	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es aber um den Betrag geht spielt das ja auf $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ bezogen keine Rolle, da der Betrag ja auch 1 ist.
06.04.2008, 22:33	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Lage von epsilon spielt aber nicht der Betrag von x, sondern x selbst eine Rolle.
06.04.2008, 22:39	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich schreibe es mal aus: $\begin{eqnarray} \|R_{2}(x)\| = \frac{2}{3}\| e^{-\epsilon}\| \cdot \|sin \epsilon\| \cdot \| x^{3}\| \end{eqnarray}$ Ergo spielts doch für den Gesamtfehler keine Rolle ob ich -1 oder 1 für x wähle. Oder spielst du darauf an dass epsilon zwischen 0 und x liegen muss, was im konkreten fall bedeutet wenn ich x mit 1 wähle muss epsilon 1 sein und wenn ich x mit -1 wähle ist epsilon auch -1 ?
06.04.2008, 23:29	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Also vielleicht beantwortest du mir folgende Frage (mir geht es ja nur darum die Fragestellung zu verstehen, das Ergebnis habe ich ja). Ich muss ein x und ein zugehöriges Epsilon wählen, damit der Fehler maximal wird? Dabei wird dies zum einen eingeschränkt durch das vorgebene Intervall [-1:1] sowie die Tatsache, dass Epsilon zwischen 0 und x liegt (d.h. wenn x=-1 muss Epsilon zwischen -1 und 0 liegen, wenn x=1 muss Epsilon zwischen 0 und 1 liegen) ?
06.04.2008, 23:38	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genauso isses.
06.04.2008, 23:46	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \|R_{2}(x)\| = \frac{2}{3}\| e^{-\epsilon}\| \cdot \|sin \epsilon\| \cdot \| x^{3}\| < \frac{2}{3} \cdot e \cdot 1 = \frac{2e}{3} \end{eqnarray}$ Wird $\begin{eqnarray} \|sin \epsilon\| \end{eqnarray}$ hier einfach vernachlässigt? Warum? Der Sinus wäre ja nur für Pi/2 = 1, das liegt aber nicht im Intervall.. Da wir x=1 und Epsilon=1 ausgeschlossen haben bleibt ja nur noch x=-1 und Epsilon=-1 , oder? Bleibt nur der Sinus offen ?!?
06.04.2008, 23:59	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut! Den Sinus KANN man auslassen, da sowieso immer \|sin(x)\| <= 1 gilt. Man MUSS ihn aber nicht auslassen. Man hat zwei Möglichkeiten, den Sinus nicht zu vernachlässigen. Die einfachere ist es, den größten Wert von \|sin(epsilon)\| für epsilon zwischen -1 und 0 zu ermitteln und zu übernehmen. Etwas genauer wird die Fehlerabschätzung, wenn man den größten Wert von $\begin{eqnarray} e^{-\varepsilon}\|\sin(\varepsilon)\| \end{eqnarray}$ im Intervall [-1,0] ermittelt. Das geht z.B. per Kurvendiskussion.
07.04.2008, 00:01	w!cked	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleiches würde dann auch für den Cosinus und den Tangens gelten, oder?
07.04.2008, 01:49	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, bis auf, dass der Tangens nicht durch 1 beschränkt ist.

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