Berechnung der relativen Genauigkeit

06.04.2008, 15:49

tim taler

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Berechnung der relativen Genauigkeit

Hallo zusammen,

bei den Klausurvorbereitungen bin ich auf diese Aufgabe gestoßen.

Mit welcher relativen Genauigkeit muss der Radius einer Kugel gemessen werden, damit der relative Fehler bei der Berechnung de Volumes kleiner als 1% ist.

mein Ansatz:

Volumen einer Kugel:

$\begin{eqnarray*} V_{Kugel}=\frac{4}{3}r^3 \pi \end{eqnarray*}$

der relative Fehler berechnet sich zu:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{f(x)-f(x_0)}{f(x_0)} \mid = \mid \frac{f'(x_0)(x-x_0)}{f(x_0)} \mid \leq \frac{\mid f'(x_0)\delta x \mid }{\mid f(x_0) \mid} = \frac{ \mid d_y \mid}{\mid f(x_0) \mid} \end{eqnarray*}$

und 1% bedeutet 0,01 :-)

Wie mus ich das ganze jetzt verbinden?

Gruss, tt

06.04.2008, 17:00

mYthos

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Muss das mit der Differentialrechnung gerechnet werden?
Ansonsten: Der Radius geht in das Volumen mit der dritten Potenz ein ...

mY+

06.04.2008, 19:26

tim taler

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Hallo Peter,

ja es sollte per Differentialrechnung ermittelt werden.

Gruss, tt

07.04.2008, 10:18

tim taler

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RE: Berechnung der relativen Genauigkeit
Hat vielleicht jemdand eine Idee?

Gruss, tt

07.04.2008, 13:56

erkü

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RE: Berechnung der relativen Genauigkeit
Hi tt,

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V}= \frac{V'~\Delta r}{V} \leq 0,01 \end{eqnarray*}$

Gruß erkü

07.04.2008, 14:25

Zellerli

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Dann musst du das in der Regel aber mit Gauß'scher Fehlerfortpflanzung und über die partiellen Ableitungen machen.

Allgemein gilt für die Größe y, die sich aus den Größe a, b, c als Faktor errechnet

$\begin{eqnarray*} \sigma_y=\sqrt{(\frac{\delta y}{\delta a})^2 \cdot \sigma_a^2+(\frac{\delta y}{\delta b})^2 \cdot \sigma_b^2+(\frac{\delta y}{\delta c})^2 \cdot \sigma_c^2} \end{eqnarray*}$

Der Witz dabei ist, dass der Radius r in deinem Fall nicht aufgefasst werden kann wie 3mal die Größe $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Immerhin macht das das Rechnen einfacher.
Somit hat erkü übrigens Recht.

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07.04.2008, 16:46

tim taler

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RE: Berechnung der relativen Genauigkeit
@ erkü

danke aber was genau bedeutet das delta r

@zellerli

Ableitungen sind mir ein Begriff, aber Gaußsche Fehlerfortpflanzung sagt mir nichts...
Bist du sicher das ich diese hier benötige?

Gruss, tt

07.04.2008, 23:28

erkü

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RE: Berechnung der relativen Genauigkeit

Zitat:

Original von tim taler
@ erkü
danke aber was genau bedeutet das delta r

delta r ist die Abweichung von r und delta r/r ist der gesuchte relative Fehler für den Radius!

Die Fehlerfortpflanzung brauchst Du in diesem Zusammenhang nicht, da hier nur eine Variable, der Radius, fehlerbehaftet ist.

Und nun rechne mal mit der von mir angegebenen Formel weiter!
(V' ist die Ableitung des Volumens nach dem Radius.)

Gruß erkü

08.04.2008, 02:41

WebFritzi

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RE: Berechnung der relativen Genauigkeit

Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{f(x)-f(x_0)}{f(x_0)} \mid = \mid \frac{f'(x_0)(x-x_0)}{f(x_0)} \mid \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Genauso ist auch erküs erste Gleichheit falsch.

08.04.2008, 04:54

Zellerli

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RE: Berechnung der relativen Genauigkeit

Zitat:

Original von erkü
Die Fehlerfortpflanzung brauchst Du in diesem Zusammenhang nicht, da hier nur eine Variable, der Radius, fehlerbehaftet ist.

Deine Formel mit der Ableitung ist genau die auf die man mit der Fehlerfortpflanzung kommt.

Da nur eine Größe vorhanden ist gilt:

$\begin{eqnarray*} \sigma_V=\sqrt{(\frac{\delta V}{\delta r})^2 \cdot \sigma_r^2} = \frac{\delta V}{\delta r} \cdot \sigma_r \end{eqnarray*}$

Und ob das da so da steht oder als relativer Fehler mit schlampiger Symbolik spielt keine große Rolle:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V}= \frac{V'~\Delta r}{V} \end{eqnarray*}$

Das ist Jacke wie Hose und meiner Meinung nach richtig. Daher verstehe ich den Einwand von Chuck Norris nicht. Wieso stimmt diese Gleichung nicht?

08.04.2008, 08:22

tim taler

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$\begin{eqnarray*} V(r)= \frac{(\frac{4}{3}r^3 \pi)'*(r-\Delta r)}{\frac{4}{3}r^3 \pi } \end{eqnarray*}$

ist das soweit ok?

Gruss, tt

08.04.2008, 12:28

mYthos

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Fast. Allerdings genügt es, nur $\begin{eqnarray*} \Delta r \end{eqnarray*}$ zu nehmen ... . Nochmals, ausgehend von der angegebenen Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V}= \frac{V'~\Delta r}{V} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V}= \frac{4 \pi r^2~\Delta r \cdot 3}{4 \pi r^3} \end{eqnarray*}$

jetzt kürzen und $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta r}{r} \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V} \end{eqnarray*}$ ermitteln!

Bei richtiger Rechnung kommt

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta r}{r} = \frac{1}{3} \frac{\Delta V}{V} \end{eqnarray*}$

das würde einem relativen Fehler von 0,33% entsprechen.
Dieses Ergebnis können wir auch abschätzen, indem wir - ohne Differentialrechnung - den Zusammenhang zwischen dem Volumen und Radius als dritte Potenz heranziehen:

$\begin{eqnarray*} (1 \pm \frac{p}{100})^3 = 1 \pm 0,01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_1 = 0,3322 \ \text{ nach unten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_2 = 0,3345 \ \text{ nach oben} \end{eqnarray*}$

mY+

08.04.2008, 13:28

tim taler

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Hallo Peter,

danke Dir. Das ist laut Lösung auch einwandfrei korrekt.
Nun zu meinen Fragen.
Was genau bedeutet delta r ausgeschrieben?
Wenn ich das weiß kann ich die Funktion berechnen...
Und danach soll ich delta r/r in Abhängigkeit von delta V/V ermitteln.
Was bedeutet das genau?

Muss da erst mal reinkommen.

Gruss, tt

08.04.2008, 14:15

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \Delta r \end{eqnarray*}$ bedeutet nichts anderes, als (kleine) Änderung von r. Das Wort "Delta" deutet auf Differenz hin, es wird damit eben die Differenz zweier Werte der gleichen Größe (r) bezeichnet, die sich im Verlauf entsprechend geändert haben.

Hat sich der Radius also von r1 zu r2 geändert, so ist

$\begin{eqnarray*} \Delta r = r_2 - r_1 \end{eqnarray*}$

Die relative Änderung von r erhält man nun, wenn man die Änderungsdifferenz zum ursprünglichen Wert ins Verhältnis setzt:

$\begin{eqnarray*} \text{Relative Änderung von r ist } \ \frac{\Delta r}{r} \end{eqnarray*}$

Die Delta-Größen spielen in der Differentialrechnung eine große Rolle, denn aus ihnen wird der Differenzenquotiont und daraus (als Grenzwert) der Differentialquotient gebildet. Die Differentiale heissen dann entsprechend $\begin{eqnarray*} \dd r \ \text{ bzw. } \dd V \end{eqnarray*}$ .

In der Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta r}{r} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V} \end{eqnarray*}$ wird zum Ausdruck gebracht, wie sich eine relative Änderung (Fehler) im Volumen auf die relative Änderung des Radius auswirkt, das war ja das Ziel der Aufgabe.

Gr
mY+

08.04.2008, 14:42

tim taler

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Vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen.
ich versuche dann mal die Berechnung durchzuführen

$\begin{eqnarray*} V(r)= \frac{(\frac{4}{3}r^3 \pi)' \Delta r }{(\frac{4}{3}r^3 \pi)} \end{eqnarray*}$

Ableitung des ersten Faktors im Zähler

$\begin{eqnarray*} V(r)= \frac{(4\pi r^2) \Delta r *3}{(\frac{4}{3}r^3 \pi)} \end{eqnarray*}$

kürzen ergibt

$\begin{eqnarray*} V(r)= \frac{3 \Delta r}{r} \end{eqnarray*}$

wie bringe ich nun noch nrechnerich die Abhängigkeit von Delta V/V mit ein um auf 1/3 zu kommen?

Gruss, tt

08.04.2008, 16:10

mYthos

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Du solltest von der anfänglichen Definition ausgehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V}= \frac{V'~\Delta r}{V} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V}= \frac{4 \pi r^2~\Delta r \cdot 3}{4 \pi r^3} \end{eqnarray*}$

bei dir sollte/würde das jenem entsprechen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V(r)}{V} = \frac{(\frac{4}{3}r^3 \pi)' \Delta r }{(\frac{4}{3}r^3 \pi)} \end{eqnarray*}$

also, erstens, wo kommt bei dir die 3 her, die kommt erst nach der Division durch V ins Spiel und zweitens muss links die besagte relative Änderung des Volumens stehen.

Nach dem Kürzen steht dann

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V}= \frac{\Delta r \cdot 3}{r} \end{eqnarray*}$

und daraus rechnest du jetzt bitte $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta r}{r} \end{eqnarray*}$ in den anderen Größen aus.

mY+

08.04.2008, 16:18

Zellerli

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Oder mit Beispiel:

Man misst den Radius einer Kugel (wie man das auch immer macht) und erhält 74,0mm und weiß, dass man bei dem Messwerkzeug einen Fehler von 1,0 mm macht (beispielsweise einen Ablesefehler).
Dann erhält man:

$\begin{eqnarray*} r=(74,0 \pm 1,0) mm \end{eqnarray*}$ dabei ist $\begin{eqnarray*} \Delta r = 1,0mm \end{eqnarray*}$
74,0mm nennt man den Bestwert. Er wird in einem Fall wie diesem häufig ebenfalls nur mit r bezeichnet, also $\begin{eqnarray*} r_{\text{Best}}=r=74,0mm \end{eqnarray*}$

edit: Sorry! Irgendwie hab ich den Beitrag hier liegen lassen und grade auf senden gedrückt. Er passt inhaltlich nicht an diese Stelle sondern einige Beiträge vorher.

08.04.2008, 16:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V}= \frac{V'~\Delta r}{V} \end{eqnarray*}$

Wir sind jetzt schon auf Seite 2, und dies ist immernoch falsch. Zumindest so, wie es da steht. Was da steht, soll wohl bedeuten:

$\begin{eqnarray*} \frac{V(r)-V(r_0)}{V(r_0)}= \frac{V'(r_0)(r-r_0)}{V(r_0)}\;\text{ für alle }\;r>0 \end{eqnarray*}$

oder auch einfach nur

$\begin{eqnarray*} V(r)-V(r_0)= V'(r_0)(r-r_0)\;\text{ für alle }\;r>0, \end{eqnarray*}$

und das ist offensichtlich falsch.

Hier ist der Mittelwertsatz anzuwenden, nach dem es zu jedem r ein $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ und r gibt mit

$\begin{eqnarray*} V(r)-V(r_0)= V'(\xi)(r-r_0). \end{eqnarray*}$

Damit kann man dann abschätzen. Vielleicht meint ihr das die ganze Zeit so, aber so wie ihr das schreibt, ist es nicht OK.

08.04.2008, 16:35

mYthos

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Auf welcher Seite der Beitrag erscheint, hängt von den Voreinstellungen ab. Man kann die max. Anzahl der auf einer Seite angezeigten Beiträge im Profil - Einstellungen ändern. Weil das ständige Hin- und Herschalten manchmal nervt, habe ich dies z.B. auf 30 erhöht.

Zum anderen, was du sagst, hat schon seine Richtigkeit. Aber für den Fragesteller ist auch die salopp gesagt "vereinfachte" Darstellung schwierig genug ...

Vielleicht könnte Tim mal sagen, wie (mit welchen Mitteln) dies in seinem Unterricht tatsächlich behandelt wurde.

mY+

08.04.2008, 16:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
Zum anderen, was du sagst, hat schon seine Richtigkeit. Aber für den Fragesteller ist auch die salopp gesagt "vereinfachte" Darstellung schwierig genug ...

Aber diese vereinfachte Darstellung ist nunmal falsch. Du bist zwar hier der Lehrer, aber ich halte es nicht für zweckmäßig, den Schülern falsche Gleichungen zu präsentieren. Man könnte z.B. schreiben

$\begin{eqnarray*} |\Delta V| \le \max_{x\in [r_0-\Delta r,r_0+\Delta r]} |V'(x)|\cdot\Delta r. \end{eqnarray*}$

Das ist richtig und bei der gegebenen Funktion V auch nicht schwer anzuwenden.

08.04.2008, 17:24

tim taler

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Hallo an alle,

bei mir kommt der Mittelwertsatz erst im nächsten Kapitel(hab mal schnell nachgeschaut).
daher habe ich die Formel aus meinem Buch für die Fehlerrechnung entnommen. Das ist auch das Kapitel unter welchem die Aufgabe dort zu finden ist. Es geht also um die Berechnung des absoluten bzw. relativen Fehlers...

@Mythos:
die 3 hatte ich nur mitreingepackt weil die bei dir oben auch stand.
ohne diese 3 komme ich auch auf

$\begin{eqnarray*} \frac{3* \Delta r}{r} \end{eqnarray*}$

EDIT:was meinst du mit den anderen Größen?

Gruss, tt

08.04.2008, 17:25

WebFritzi

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RE: Berechnung der relativen Genauigkeit

Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{f(x)-f(x_0)}{f(x_0)} \mid = \mid \frac{f'(x_0)(x-x_0)}{f(x_0)} \mid \end{eqnarray*}$

Ist das die Formel, wie sie in deinem Buch steht? Dann schmeiß das Buch weg!

08.04.2008, 18:00

tim taler

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Hallo WebFritzi,

dazwischen steht ein "Ungefährzeichen" aber ich wußte nicht wie ich das machen sollte im Editor.

Gruss, tt

08.04.2008, 18:03

WebFritzi

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\approx

08.04.2008, 18:34

tim taler

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also darf ich das Buch behalten? Augenzwinkern

Augenzwinkern

hier steht leider keine andere Formel dafür, glaube dir ja gerne das es einfacher geht, aber da muss ich jetzt mal durch

Gruss, tt

08.04.2008, 18:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von tim taler
glaube dir ja gerne das es einfacher geht

Nicht einfacher, sondern richtig. Mit einem approx-Zeichen ist das auch OK, denn das kann alles bedeuten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.04.2008, 19:22

mYthos

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@WF, also zur Herleitung des "Stein des Anstoßes"

Exakt gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}{\dd x} = f' \end{eqnarray*}$

Approximativ (für hinreichend kleine Änderungsdifferenzen)

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta f}{\Delta x} \approx f' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta f \approx f' \Delta x \end{eqnarray*}$

Division beidseits durch f ->

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta f}{f} \approx \frac{f'~\Delta x}{f} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist's keine falsche Gleichung mehr.

@TT

Ich meinte mit den anderen Größen doch einfach nur noch die Umstellung, sodass rauskommt

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta r}{r} \approx \frac{1}{3} \cdot \frac{\Delta V}{V} \end{eqnarray*}$

08.04.2008, 19:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
Jetzt ist's keine falsche Gleichung mehr.

Nein, denn es ist gar keine Gleichung mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.04.2008, 08:31

tim taler

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Hallo Peter,

ok also einfach durch drei Teilen, alles klar.
Ich schau mir das ganze nochmal durch und übe mal noch ein weiteres Beispiel.
Danke euch für die Hilfen.

Gruss, tt

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