Verschoben! Stoppzeiten (Finanzmathe)

06.04.2008, 17:29

Money

Stoppzeiten (Finanzmathe)

Hallo,

Folgendes Beispiel stammt aus einer Vorlesung über Finanzmathe, hoffe, es kann mir trotzdem jemand helfen hier und zwar:

$\begin{eqnarray*} \tau_{n}: \Omega \rightarrow I \subset R \end{eqnarray*}$ sind Stoppzeiten bezüglich einer Filtrierung $\begin{eqnarray*} F_{t} \end{eqnarray*}$

a) Zeige: $\begin{eqnarray*} \tau := sup \tau_{n} \end{eqnarray*}$ ist eine Stoppzeit
b) Konstruiere ein Beispiel mit $\begin{eqnarray*} \left|\Omega\right|=2 \end{eqnarray*}$ , so dass das Infimum der tau_n keine Stoppzeit ist.

Vielleicht unsere Definition der Stoppzeit aus der Vorlesung:
Sei F_t eine Filtrierung. Dann heißt $\begin{eqnarray*} \tau: \Omega\rightarrow I \end{eqnarray*}$ Stoppzeit falls: $\begin{eqnarray*} \left\{\omega\in\Omega: \tau(\omega) \leq t\right\} \in F_t \end{eqnarray*}$

06.04.2008, 20:22

WebFritzi

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Erstens: Was sind deine eigenen Ansätze?

Zweitens: Was ist eine Filtrierung?

06.04.2008, 20:25

PrO

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@ Zweitens: Gemeint ist vermutlich Filtration. Die Definition darf ich mir freundlicherweise ersparen.

06.04.2008, 20:31

WebFritzi

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OK, hab sie schon nachgeschaut unter Wikipedia.

@Money: Die Behauptung folgt sofort aus

$\begin{eqnarray*} \tau(\omega)\le t \Longleftrightarrow \forall n\in\mathbb{N} : \tau_n(\omega)\le t \end{eqnarray*}$

und den Eigenschaften einer Sigma-Algebra.

06.04.2008, 20:43

Money

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Die Ausdrücke "Filtrierung" und "Filtration" werden gleichberechtigt nebeneinander verwendet. Gemeint ist eine Familie von Sigma-Algebren, welche den zeitbedingten Informationsstand im Laufe eines Prozesses berücksichtigt, sprich: für zwei Zeitpunkte t1 und t2 mit t1 < t2 gilt: Ft1 ist eine Teilmenge von Ft2.

Dass Problem ist, dass mir hier leider ein Ansatz fehlt und b) wird so und so mehr ein "gewusst wie" Beispiel sein...

06.04.2008, 21:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von Money
Das Problem ist, dass mir hier leider ein Ansatz fehlt

Ich hab dir den Ansatz gegeben.

07.04.2008, 13:25

Money

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Hmm, danke, aber leider funkt es noch nicht so ganz... Hast du zu b) auch einen Vorschlag!?

07.04.2008, 21:23

WebFritzi

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Ich denke, du machst zuerst mal (a).

Zitat:

Original von WebFritzi
$\begin{eqnarray*} \tau(\omega)\le t \Longleftrightarrow \forall n\in\mathbb{N} : \tau_n(\omega)\le t \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \{\omega\in\Omega : \tau(\omega)\le t\} = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} \{\omega\in\Omega : \tau_n(\omega)\le t\}. \end{eqnarray*}$

Verstehe, warum das gilt und warum daraus und aus zwei Eigenschaften einer Sigma-Algebra sofort deine Behauptung folgt.

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