Butcher Array

06.04.2008, 18:48	Jochen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Butcher Array Hallo zusammen, ich bin gerade eben über eine Frage zu dem Butcher-Array bei den RKV gestolpert. Der Butcher-Array für das implizite Trapezverfahren sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix}0&\|0&0\\1&\|\frac 12 &\frac 12 \\--&--&--\\&\|\frac 12 & \frac 12\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c&\|A\\--&--\\&\|b^t\end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Nach der Definition $\begin{eqnarray} k_i &=& f(x_k + c_ih, y_k + h\cdot \sum_{j=1}^sa_{ij}k_j)\qquad i =1,\ldots s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{k+1}&=&y_k + h\cdot \sum_{i=1}^sb_ik_i \end{eqnarray}$ komme ich auf folgede Werte $\begin{eqnarray} k_1 = f(x_k,y_k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_2 = f\left(x_k + h,y_k + \frac 12 k_1 + \frac 12 k_2) = f(x_k+h,y_k + \frac 12 f(x_k,y_k) + \frac 12 k_2\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{k+1} = y_k + h\left(\frac 12 k_1 + \frac 12 k2\right) = y_k + h\left( \frac 12 f(x_k,y_k) + \frac 12 k_2\right) \end{eqnarray}$ Die Lösung soll sein $\begin{eqnarray} y_{k+1}=y_k + \frac{h}{2}(f(x_k,y_k)+f(x_{k+1},y_{k+1})) \end{eqnarray}$ Wo ist der Fehler, oder besser, wie bestimme ich bitte k2? Vielen Dank!!!!!!!! Jochen
07.04.2008, 00:04	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... sieht so aus, als wäre die Gleichung für k_2 implizit... Das liegt daran, dass auf und über der Hauptdiagonalen von A nicht nur Nullen stehen... Ich kann die Musterlösung nicht nachvollziehen. mfG 20
07.04.2008, 12:04	Jochen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das habe ich auch festgestellt. Dieses Problem tritt aber bei allen impliziten Runge-Kutta Verfahren auf, z.b. beim impliziten Eulerverfahren. Hat jemand vll ne Musterlösung zum Aufstellen eines Butcher-Arrays bei einem impliziten Verfahren?
07.04.2008, 16:55	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe mich nicht deutlich ausgedrückt... Ich meine, dass es nicht möglich ist, eine explizite Formel für y_{k+1} hinzuschreiben. Das liegt eben an der Implizität... mfg 20

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