Gauß Funktion

06.04.2008, 21:07	trasher	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß Funktion Guten Abend, wenn man eine Gauß Funktion quadriert, dann kommt wieder eine Gauß Funktion heraus. Dadurch ändert sich die Standardabweichung. Diese Standardabeichung wird dann Wurzel(2) mal kleiner. Wieso ist dies der Fall? Kann mir jemand erklären wie man auf den Faktor Wurzel(2) kommt? Gruß pet
06.04.2008, 21:50	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also schau Dir das mal an : $\begin{eqnarray} \left(\exp\left(-\frac{1}{2}\left[\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}\right]\right)\right)^2 = \exp\left(-\frac{1}{2}2\left[\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}\right]\right) = \exp\left(-\frac{1}{2}\left[ \frac{(x - \mu)^2}{\frac{1}{2}\sigma^2}\right]\right) = \exp\left(-\frac{1}{2}\left[ \frac{(x - \mu)^2}{\left[\frac{\sigma}{\sqrt{2}} \right]^2}\right]\right) \end{eqnarray}$ Für den Exponentialfaktor der Gaussfunktion sieht man also sofort ein das sigma/sqrt(2) die neue Standardabweichung ist. Für den Normalisierungsfaktor gilt das Ganze allerdings nicht. Es ist $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^2 = \frac{1}{\sqrt{(2\pi \sigma^2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi(\underbrace{\sqrt{2\pi}\sigma^2}_{\sigma_{\text{neu}}})^2}} \end{eqnarray}$ Hier wäre die neue Standardabweichung also wurzel(2pi)sigma^2. Wenn man das Ganze also als Verteilung benutzen will muss man wegen der falschen Normalisierung aufpassen. Quadriert ihr die Gaussfunktion mit Normalisierungsfaktor oder ohne ?
07.04.2008, 09:37	trasher	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Standardabweichung einer Gauss Funktion ist ja sigma = 1/(2*pi) Ich weiss nicht was ein Normalisierungsfaktor bedeutet.
07.04.2008, 10:16	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Gaussfunktion die einer W'schkeitsdichte genügt hat die Form : $\begin{eqnarray} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}}_{\text{ Normalisierungsfaktor}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left[\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}\right]\right) \end{eqnarray}$ Das Ganze rührt daher das $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}\left[\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}\right]\right)dx = \sqrt{2\pi\sigma^2} \end{eqnarray}$ Um also die Bedingung, das dass Integral über den ganzen Raum der Wschkeitsdichte 1 ergeben muss zu erfüllen normalisiert man hinterher.
07.04.2008, 13:25	trasher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist hier nicht ein Fehler drin? $\begin{eqnarray} \left(\exp\left(-\frac{1}{2}\left[\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}\right]\right)\right)^2 = \exp\left(-\frac{1}{2}2\left[\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}\right]\right) = \exp\left(-\frac{1}{2}\left[ \frac{(x - \mu)^2}{\frac{1}{2}\sigma^2}\right]\right) = \exp\left(-\frac{1}{2}\left[ \frac{(x - \mu)^2}{\left[\frac{\sigma}{\sqrt{2}} \right]^2}\right]\right) \end{eqnarray*}$
07.04.2008, 13:26	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich kann keinen finden.
Anzeige

07.04.2008, 13:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@trasher Erklär mal deutlicher - wo soll da ein Fehler sein? Sieht für mich alles sehr korrekt aus.
07.04.2008, 17:40	trasher	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ich muss mich entschuldigen. Da ist kein Fehler. Danke für die Hilfe.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »