induktionsbeweis

07.04.2008, 17:30

TheMogli

induktionsbeweis

Okay, ich habe gerade glaubich verstanden wie man etwas per induktion beweist, aber ich kriegs praktisch doch nicht hin.

Zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{eqnarray*}$

So lautet die ausgeschriebene

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i(i+1) \end{eqnarray*}$ doch:

$\begin{eqnarray*} 1(1+1) + 2(2+1) + ... + n(n+1) \end{eqnarray*}$

richtig? Falls ja, dann beweise ich erstmal für n=1

$\begin{eqnarray*} 1(1+1)= \frac{1(1+1)(1+2)}{3} \end{eqnarray*}$

Die Aussage gilt also für 1 und n

nun zum beweis für A(n+1)

Gelten muss

$\begin{eqnarray*} 1(1+1) + 2(2+1) + ... + n(n+1) + (n+1)(n+1) = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

und dass soll hergeleitet werden durch

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+1) \end{eqnarray*}$

so. Wenns bis hier richtig ist, find ichs großartig, komme aber nicht weiter. Mir fehlt die Idee wie ich die rechte Seite vernünftig umformen kann. abgesehn davon, dass ich aus

$\begin{eqnarray*} (n+1)(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

machen könnte. Aber was mache ich mit dem Zähler des Bruchs? Wenn ich das tatsächlich alles multipliziere werd´ich doch bloss verrückt. beweisen tu ich nix.

danke

07.04.2008, 17:33

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: induktionsbeweis

Zitat:

Original von TheMogli

nun zum beweis für A(n+1)

Gelten muss

$\begin{eqnarray*} 1(1+1) + 2(2+1) + ... + n(n+1) + (n+1)(n+1) = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} +(n+1)(n+1) \end{eqnarray*}$ ?

wenn du das alles richtig hinschreibst, dann ist der entscheidende umformungsschritt sehr einfach, du musst einfach nur ausklammern.

07.04.2008, 17:34

Auf diesen Beitrag antworten »

Der neue Summand ist nicht $\begin{eqnarray*} (n+1)(n+1) \end{eqnarray*}$ , sondern

$\begin{eqnarray*} (n+1)([n+1]+1) = (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$ .

EDIT: ... wie so oft, zu spät. Augenzwinkern

07.04.2008, 17:37

TheMogli

Auf diesen Beitrag antworten »

flüchtigkeitsfehler sind und waren meine feinde. ihr habt natürlich recht.

07.04.2008, 17:48

TheMogli

Auf diesen Beitrag antworten »

also bei mir sähe das dann folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2) + 3((n+1)(n+2))}{3} \end{eqnarray*}$

aber wie ich da jetzt ausklammern soll will mir nicht in den sinn
ich weiß was das heißt, so ists nicht. $\begin{eqnarray*} (ab+bc) = b(a+c ) \end{eqnarray*}$

aber hier, fehlt mir die idee

07.04.2008, 17:52

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du im ersten Summanden nicht was vergessen?

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2) + 3((n+1)(n+2))}{3} \end{eqnarray*}$ ...

07.04.2008, 18:04

TheMogli

Auf diesen Beitrag antworten »

wie schon oben zugegeben. geschockt

ich steh trotzdem auf dem schlauch

07.04.2008, 18:04

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Faktoren haben die beiden Summanden denn gemeinsam?

07.04.2008, 18:06

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von TheMogli
ich steh trotzdem auf dem schlauch

Also wenn du das jetzt nicht siehst, gibt's nur eins:

Fenster auf, Kopf 5 Minuten lang in die frische Luft! Dann den Term nochmal ansehen. Augenzwinkern

07.04.2008, 18:14

TheMogli

Auf diesen Beitrag antworten »

(n+2) und (n+1)

einen moment, ich glaub ich habs.

ich ziehe die beiden also aus den klammern hinaus, woraufhin in der klammer nur noch 3+n übrigbleibt.

der witz ist, (für mich) das setzen einer zusätzlichen klammer:

$\begin{eqnarray*} (n((n+1)(n+2))) + (3((n+1)(n+2))) \end{eqnarray*}$

die äußersten Klammern der Summanden sind zwar nicht notwenig, aber für meine anschaung äußerst wichtig.

ok?

07.04.2008, 21:16

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von TheMogli
(n+2) und (n+1)

einen moment, ich glaub ich habs.

ich ziehe die beiden also aus den klammern hinaus, woraufhin in der klammer nur noch 3+n übrigbleibt.

[...]

ok?

Ja.

Neue Frage »

Antworten »

induktionsbeweis

Verwandte Themen