Symmetrie Herausfinden ohne graph

27.09.2005, 14:33

Symmetrie Herausfinden ohne graph

Hallo,

ich habe eine Funktion und möchte herausfinden zu welchen Achsen und Punkten sie symmetrisch ist.

Bei Achsen muss ja gelten für die achse x=a und für alle x:
f(a-x) = f(a+x)

Wenn ich das nun in meine Funktion f(x)= 3/tan(2*x) + 5 einsetzte bekomme ich nach allen umformungen raus:
4x=0

Was sagt mir das nun über die Achse a?
Ähnliches Problem für die Punktsymmterie nach
f(a-x) + f(a+x) = 2b bei Symmetrie im Punkt S(a|b)

Oder zusammengefallst: Wie geht man vor wenn man bei einer beliebigen Funktion alle Symmetrieachsen und Punkte herausfinden will ohne die Funktion zeichnen zu können.

27.09.2005, 15:02

Lazarus

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dein problem: du hast die definition sehr unglücklich umgesetzt!
nenn die achse $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und den verschiebungsfaktor nicht x sonderns z.b. $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ dann kommt es nicht zu der verwechslung.
denn wenn du am schluss 4x=0 dastehn hast ist ja nicht x das x das du suchst !

gleiches problem bei der punktsymetrie!

setzt mal mit der formel $\begin{eqnarray*} \left[ f(x_0 + h) - y_0 \right] = - \left[ f(x_0 - h) - y_0 \right] \end{eqnarray*}$ an, dann weist du nach das das gilt und weisst dann das die funktion symetrisch ist zum punkt $\begin{eqnarray*} Z(x_0;y_0) \end{eqnarray*}$

es gibt doch so viele buchstaben, nehm x nur da wo die abszisse gemeint ist, dann kommst du nicht durcheinander!

servus

//edit: wie kommt man eigentlich darauf achsensymetrie bei einer tangensfunktion die x nicht nur betragsmässig enthält zu vermuten ?

27.09.2005, 15:30

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Zitat:

Original von Lazarus
wie kommt man eigentlich darauf achsensymetrie bei einer tangensfunktion die x nicht nur betragsmässig enthält zu vermuten ?

Vollkommen richtige Anmerkung: Die angegebene Funktion ist nicht achsensymmetrisch, und zwar zu keiner der Achsen $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ .

28.09.2005, 14:22

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Danke für Eure antworten.

Leider bin ich jetzt völlig verwirrt und weis noch immer nicht, wie ich vorgehen soll, wenn ich eine beliebige Funktion habe und diese nach möglicher Punkt- und Achsensymmetrie untersuchen soll.

Herzlichen Dank!

28.09.2005, 14:51

vzf

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Die "natürliche Weise" um Symmetrieachsen x=const afzuspüren bestünde darin, die Funktion um einen Wert a zu "verschieben". Die verschobene Funktion sei
$\begin{eqnarray*} f_a(x) =f(x+a) \end{eqnarray*}$

Wenn es Symmetrieachsen x=a gibt, gilt für diese

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = f_a(-x) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(x+a) - f(-x+a) = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du Glück hast und die obige Gleichung sich auflösen lässt, erhälts du aus ihr die möglichen Werte für a.

Beispiel für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 + 2x + 1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = f(x+a) = (x+a)^2 + 2(x+a) +1 \end{eqnarray*}$

Die obige Gleichung lautet

$\begin{eqnarray*} f(x+a) - f(-x+a) = (x+a)^2 +2(x+a) +1 - (-x+a)^2 - 2(-x+a) -1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4x + 2ax +2ax = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4x(a+1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a=-1 \end{eqnarray*}$

War ja auch klar, denn $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + 2x +1 = (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ ist eine verschobene Normalparabel mit Nullstelle bei -1.

Für Punktsymmetrie funktioniert das analog.

smile

28.09.2005, 14:52

Lazarus

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fangen wir mal hinten an:
eine tangensfunktion ist nicht achsensymetrisch, ausser die x-werte werden betragsmässg genommen.

beispiel:

auf der anderen seite, mit |x|:

die letzter ist achsensymetrisch, bei deiner funktion handelt es sich allerdings um eine abart der ersten !

daher kannst du eh nur den gegenbeweis bringen, d.h. du wirst auf jedenfall auf einen widerspruch stoßen, wie 4=0.
es lohnt sich nur auf symetrie zu überprüfen wenn es denn einen begründeten verdacht gibt, was hier nicht der fall ist.
ähnlich wäre es wenn man die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ auf achsensymetrie untersuchen will ^^

soviel mal vorweg.

dann allgemein zu den formeln: wie ich oben schon geschrieben hab, hast du leider die variablen sehr unglücklich gewählt, sodass es leicht zu verwechslungen kommen kann, was dich ja im endeffekt dann auch getroffen hat.

daher mein rat an dich, benutz andere variablen!
ich schreib dir mal die formeln raus, wie ich sie ansetzten würde:

ACHSENSYMETRIE:
$\begin{eqnarray*} f(x_0+h) = f(x_0-h) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der punkt ist durch den die symetrie-achse geht, durch das hinzufügen von +h odere - h gehn wir von der achse "einen schritt" links bzw rechts
folglich ist die funktion symetrisch zu $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$
PUNKTSYMETRIE:
das gestaltet sich ein bisschen schwerer, aber keine angst:
$\begin{eqnarray*} \left[ f(x_0+h) -y_0 \right] = - \left[ f(x_0-h)-y_0 \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ ist dabei die y-koord des zentrums, und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die x-koordinate.
Von der Vorstellung her liegt hier ganz normal die formel $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ zugrunde, allerdings muss ja bedacht werden, das die funktion in y-richtung auch verschoben worden sein kann, was auchnoch mit eingebracht werden muss, was bei der achsensymetrie egal ist!

alles klar ?

servus

30.09.2005, 18:22

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Zitat:

Original von Lazarus
eine tangensfunktion ist nicht achsensymetrisch, ausser die x-werte werden betragsmässg genommen.
[*]PUNKTSYMETRIE:
das gestaltet sich ein bisschen schwerer, aber keine angst:
$\begin{eqnarray*} \left[ f(x_0+h) -y_0 \right] = - \left[ f(x_0-h)-y_0 \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ ist dabei die y-koord des zentrums, und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die x-koordinate.
Von der Vorstellung her liegt hier ganz normal die formel $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ zugrunde, allerdings muss ja bedacht werden, das die funktion in y-richtung auch verschoben worden sein kann, was auchnoch mit eingebracht werden muss, was bei der achsensymetrie egal ist!
[/list=1]
alles klar ?

Leider noch immer nicht!

Wie kann ich das nun anwenden? Nehmen wir die ursprüngliche Funktion
f(x)=3/tan(2*x)+5

Nun wende ich Deine obige Formel an:
f(x0+h)-y0 = -(f(x0+h)-y0)
3/tan(2x0+2h) + 5 - y0 = -3/(tan(2x0+2h)) - 5 - y0

Und jetzt? Wie bekomme ich x0 und y0 für die Punktsymmetrie? Was soll ich mit h machen?

Danke

02.10.2005, 10:53

Lazarus

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eines vorweg: du hast die formel falsch abgeschrieben!

im zweiten haste nen vorzeichenfehler drinn beim h und des y_0 muss noch mit in die klammer die du auch machen solltest um die rechte seite. das minus muss dann vor die klammer !

aber auch darüber hinaus is bei winkelfunktionen nicht zu empfehlen mit so ner formel anzusetzten (die für polynome sehr leicht funktoniert, hier allerdings eher hinderlich ist ), da des auch um einiges leichter zu machen ist mit hilfe einiger überlegungen:

was ist denn ein zymetriezentrum am graphen ?

dann schau dir mal die funktion f(x)=tan(x) im intervall I=[-pi/2;pi/2) an.. was fällt diesbezüglich auf ?
wieviele symetriezentren hat die (die frage ist rethorisch!) und was bedeuteten die für den graphen (abgesehn von der symetrie).
was lässt sich daraus schliessen für die symetrie von tangensgraphen ?
bringt uns das weiter? (auch rethorisch) was lässt sich folglich für unsere funktion hier schliessen ? wonach müssen wir folglich suchen ?

servus

02.10.2005, 19:08

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Ich habe die Vorzeichenklammer weggelassen und darum das y0 geändert.

Aber Danke für Deine Antwort. Sie zeigt, dass die Formel in der Tat wenig bringt für Periodische Funktionen wie tagens.
Ich sehe, dass es eine Punktsymmetrie bei x=0 gibt. Genauso bei Vielfachen von pi.
Wenn ich meine Funktion 3/tan(2*x) + 5 betrachte ist eines klar, die y koordinate der Symmetriepunkte muss um 5 erhöht sein.
Was ändert wohl 2*x? Die Periode muss dann anders sein, nämlich halb so groß.
Nun ist noch 1/tan. Das kann ich mir schwer vorstellen.

tan(2*x) + 5 hätte alle Symmetriepunkte p(k*pi/2|5).

Jetzt noch rausbekommen was 3/ bewirkt und alles wäre ok...

02.10.2005, 19:51

Lazarus

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mhh .. naja teilweise ja aber dann auch nein.
stelln wir mal noch a paar überlegungen an:
also tan(x) ist immer symetrisch zu seinen nullstellen, die auch wendepunkte sind.
was passiert nun aber bei 1/tan(x) ?
wenn da tan(x) = 0 wird ... böses faul !!!
also rennt der graph da gegen unendlich, was bedeutet das die nullstellen wo anders liegen müssen, nämlich da wo tan(x) -> unendlich geht denn z.b. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{\tan{x}} = 0 \end{eqnarray*}$
ist doch ziemlich anschaulich ?
1 / (seeeeehr große zahl) = 0

wenn du bei sowas probleme hast und zufällig daheim vorm rechner hängst dann plotte dir doch die graphen aus !

was sieht man?
wie betrifft des den wendepunkt= das symetriezentrum ?

eben Augenzwinkern

servus

03.10.2005, 19:36

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Zitat:

Original von Lazarus

ist doch ziemlich anschaulich ?
1 / (seeeeehr große zahl) = 0

Gut das ist anschaulich.

Und mit plotten hätte ich es sicher auch einfach hinbekommen - doch nur so fällt es schwer... Naja, trotzdem danke für die Hilfe.

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