Eine Aufgabe zur Rentenrechnung

07.04.2008, 17:49	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Aufgabe zur Rentenrechnung Hallo, Wir haben heute eine Aufgabe an der Tafel, die wir bis Morgen lösen sollen, also erstmal die Aufgabe: Die 9. Klasse soll auf Klassenfahrt. Dazu muss jeder Schüler 20 Monate lang monatlich 10€ in die Klassenkasse einbezahlen. Betrachtet wird jetzt nur ein Schüler. Wie viel Geld hat ein Schüler nach Ablauf der 20 Monate einbezahlt, wenn das auf dem Konto befindliche Geld monatlich mit 5% p.a. verzinzt wird und man davon ausgeht das sich anfangs 0€ auf dem Konto befinden? Ich denke die Aufgabenstellung ist klar oder? Also kommt nun meine Lösung: Es befindet sich nach dem 1. Monat 100,05 auf dem Konto 2. Monat 0,05(10+0,0510) (Ich lasse erstmal das € Zeichen weg) 3.Monat 0,05^2(10+10+0,0510) .... 20.Monat 0,05^(20-1) ((20-1)10+0,0510) So kommt das erstmal so hin? Kann ich jetzt nicht irgendwas mit Dem Summenzeichen und dann mit der endlichen geometrischen Reihe machen? Freue mich auf Hinweise (Bitte keine Lösung!!!!) Bis denn mathe760
07.04.2008, 18:32	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich poste mal neu, da es sonst unübersichtlich wird. Ich habe noch folgendes herausgefunden: $\begin{eqnarray} K_n=K_0\cdot \frac{p}{100} (2\cdot 1+3\cdot 0,05+4\cdot 0,05^2+...+n\cdot 0,05^{n-2}+0,05^{n-1}) \end{eqnarray}$ Wobei K_0 die 10€ sind und K_n das Enkapital nach den 20 Monaten. Ich möchte es zunächst gerne allgemein halten ok? Ist diese Gleichung denn richtig und kann ich die denn in die Sigma Schreibweise umwandeln? Bis denn mathe760
08.04.2008, 01:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch deinen Doppelpost hast du dich selbst der Möglichkeit einer schnelleren Beantwortung begeben, denn dadurch steht ja bereits eine Antwort da und ich gehe davon aus, dass schon wer geholfen hat und schaue nicht unbedingt in den Thread extra rein. Das was du da in deinen zwei Beiträgen geschrieben hast, vergessen wir am besten wieder ganz schnell, das ist ziemlich missraten, vorsichtig ausgedrückt. Ich denke, dir ist das Essentielle des Zinseszinses, Aufzinsungsfaktors, Barwertes, Endwertes bisher noch nicht richtig aufgegangen. Wir haben in diesem Forum schon viele Rentenaufgaben behandelt, gerade erst in letzter Zeit eine ähnliche Aufgabe. Hast du da mal ein bisschen gesucht? Da die Raten monatlich - sinnvollerweise vorschüssig, d.h. am Beginn jeden Monats - eingezahlt werden, der Zinssatz aber 5% per anno beträgt, muss man diesen erst in einen äquivalenten Monatszins umrechnen, denn auf das Jahr bezogen, werden üblicherweise - wenn nicht anders angegeben (!) - innerhalb dessen nur einfache Zinsen verrechnet. Wir nennen diesen Zinssatz $\begin{eqnarray} i_{12} \end{eqnarray}$ , den zugehörigen Aufzinsungsfaktor $\begin{eqnarray} q_{12} = 1 + \frac{i_{12}}{100} \end{eqnarray}$ . Es gilt dann $\begin{eqnarray} (1 + \frac{i_{12}}{100})^{12} = q_{12}^{12} = 1,05 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{12} = \sqrt[12]{1,05} = 1,004074 \end{eqnarray}$ Du siehst also, dass der äquivalente monatliche Zinssatz mit rd. 0,41 % wesentlich kleiner ist, als die 5% im Jahr. Das muss ja auch so sein, denn wenn eine Bank ein Kapital monatlich zu 5% verzinsen würde, würde alle Welt sofort ihr ganzes Geld dort anlegen. Erst die Verzinsung während einer Dauer von 12 Monaten ergibt eine Rendite von 5% (im Jahr). So, nun musst du nur noch den Endwert der 20 gleichbleibenden Monatsraten berechnen, indem du jede Rate an einen gleichen Zeitpunkt, das ist in diesem Falle das Ende des 20. Monats, beziehst. Dadurch entsteht eine geometrische Reihe, die nach deren Summenformel berechnet wird: $\begin{eqnarray} E = 10 q_{12} + 10 q_{12}^2 + ... + 10 q_{12}^{20} \end{eqnarray}$ Bei der Summierung wurde mit der letzten Rate - die dem Bezugs-Zeitpunkt am nächsten liegt - begonnen. Den Rest überlasse ich jetzt dir ... mY+
08.04.2008, 08:10	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich hab nachher auch bemerkt, dass meine Ansätze Mist sind, aber man lernt ja dazu . Ich hatte immer wieder einen Faktor oder so nicht mit verzinzt und eben das mit dem Zinssatz, aber vielen Dank das du mir geholfen hast mythos . Ich werde mich heute noch mal daran setzen ok? Man bin ich manchmal dumm! Bis denn mathe760
08.04.2008, 18:01	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt einmal die Lösung von deinem Re chenweg berechnet und erhalte 208,99€ wobei nur das Energebnis aufgerundet wurde. Dann haben wir heute noch folgende Formel zu Wissen bekommen: $\begin{eqnarray} K_n=K_0\cdot \frac{(1+i_{12}/100)^n-1}{i_{12}/100} \end{eqnarray}$ Mit den Oben eingeführten Symbolen. Wenn ich hier jedoch K_0=10€ ; i_12=5/(12) und n=20 einsetze, dann erhalte ich, wieder nur durch aufrunden des Endergebnisses, 208,12€ Woran liegt dies? Und wie kommt man eigentlich von deiner Formel auf die von meiner Lehrerin? Also auf E=... kommst du doch indem du immer wieder 10 mit einer Potenz von q multiplizierst, wobei die Potenz pro Monat immer um 1 steigt und die entstehenen Summanden aufsummierst oder? Bis denn mathe760
08.04.2008, 20:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel Kn = ... beschreibt genau die Summe der geometrischen Reihe. Das erste Glied dieser Reihe ist $\begin{eqnarray} K_0 \cdot q_{12} \end{eqnarray}$ , der Quotient ist $\begin{eqnarray} q_{12} \end{eqnarray}$ . Wenn du in der Summenformel der geometrischen Reihe $\begin{eqnarray} s_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \end{eqnarray}$ die Werte einsetzt, und auch für q = 1 + i, erhältst du di o.a. Formel. Mit meinen Werten hättest du 208,78 € erhalten müssen. Der von eurer Lehrerin angegebene Zinssatz unterscheidet sich jedoch von meinem. Bei mir ist es der äqivalente Monatszins, bei euch wird der lineare Monatszinssatz verwendet, also wird der Jahreszinssatz von 5% durch 12 dividiert. In diesem Falle ist $\begin{eqnarray} i_{12} = \frac{i}{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{12} = 1 + i_{12} = 1,004167 \end{eqnarray}$ und mit diesem Wert wird dein $\begin{eqnarray} K_{20} = 208,99 \end{eqnarray}$ mY+ ) Beide Varianten sind üblich
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