quadratische Gleichung, wie lösen??

27.09.2005, 16:15

kaktuzz

quadratische Gleichung, wie lösen??

Hallöchen,

ich hab da ein kleines Problem:

Ich habe die quadratische Funktion $\begin{eqnarray*} ax^{2}+bx+c \end{eqnarray*}$ und deren Nullstellen liegen bei (-3|0) und (-5|0)

und nun soll ich a,b,c berechnen, also habe ich erstmal die Nullstellen in die Gleichung eingesetzt:

I 0= 9a+3b+c
II 0=25a-56+c

Wenn ich jetzt II nach c umforme, erhalte ich c=-25a+5b.
Das habe ich dann in I eingesetzt und erhalte:

0=9a+3b-25a+5b
0=-16a+8b
0=8(-2a+b) | /8
0=-2a+b
b=2a.

Wenn ich b dann wieder einsetze, komm ich auf 0=0.

D.h., dass ich von Ergebnissen für a,b,c noch meilenweit entfernt bin.
Wie kann ich a,b,c sonst noch berechnen??

MfG Kaktuzz

Vielen Dank im Vorraus

27.09.2005, 16:48

Thales

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RE: quadratische Gleichung, wie lösen??
Ohne jede weitere Information kann man für a, b und c keine Zahlenwert berechnen. Das von Dir gebildete Gleichungssystem hat DREI Unbekannte, es gibt aber nur zwei Gleichungen, und da kannst Du i.d.R. zu keinem Ergebnis kommen, schon gar nicht, wenn (wie bei Dir) 3b in der ersten das falsche Vorzeichen hat.
Du kannst nur herausfinden, in welchen Beziehungen a, b und c zueinander stehen und dann villeicht einige Beispielgleichungen aufstellen. Das geht übrigens auch ohne Gleichungssystem:
Es gibt für jede Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a \end{eqnarray*}$
irgendeines beliebigen Grades, von der alle Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1, ..., x_n \end{eqnarray*}$ bekannt sind, die Zerlegung:
$\begin{eqnarray*} f(x) = a_{n}\cdot(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) \end{eqnarray*}$
(a kann dabei eine beliebige reelle Zahl sein.)
Bei dieser Zerlegung sieht man, dass f(x) für Einsetzen jeder der Nullstellen 0 wird, weil dann einer der Faktoren 0 wird. Dementsprechend ergibt sich die quadratische Funktion, die Du suchst, aus der Multplikation von $\begin{eqnarray*} (x-(-3)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x-(-5)) \end{eqnarray*}$ und einer beliebigen Konstante, deren Größe Du nicht eindeutig bestimmen kannst, weil sie beliebig ist. Andererseits könnten in der Aufgabenstellung noch weitere Informationen über die Funktion stehen. Wenn ja: Immer her damit!

27.09.2005, 16:57

kaktuzz

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Sorry hab noch was vergessen:

Der Scheitel liegt bei S(?|-2), und ? müsste theoretisch (folgt aus den Nuillstellen) -4 sein.

Ich hoffe, dass hilft dir weiter

thx

27.09.2005, 17:02

derkoch

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aus S(?/-2) kannst du sofort die x- koordinaten des scheitelpunktes bestimmen! damit hast du dann 3 punkte gegeben und kannst somit das gleichungssystem eindeutig lösen1

27.09.2005, 17:07

kaktuzz

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ja und wie löse ich das jetzt mit 3 Punkten?? Ist bestimmt total simpel, aber bin heut ein bissel von der Rolle Hammer

27.09.2005, 17:10

derkoch

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Zitat:

Original von kaktuzz
ja und wie löse ich das jetzt mit 3 Punkten?? Ist bestimmt total simpel, aber bin heut ein bissel von der Rolle Hammer

Zitat:

I 0= 9a+3b+c
II 0=25a-56+c

für 2 hast du schon gemacht, das gleiche jetzt für den dritten punkt und du bekommst ein gleichungssystem, für deine unbekannten a,b und c!

27.09.2005, 17:30

kaktuzz

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Also ist das jetzt meine Rechnung?:

(I) 0= 9a-3b+c
(II) 0=25a-5b+c
(III) -2=16a-4b+c

(II) nach c: c=-25a+5b

(II) in (I) eingesetzt:

0=9a-3b-25a+5b
0=-16a+2b
0=2(-8a+b) | /2
0=-8a+b
b=8a

(I) und (II) in (III) eingesetzt:

-2=16a-4(8a)-25a+5(8a)
-2=16a-32a-25a+40a
-2=-a |/-1
a=2

a in b eingesetzt:
b=2+8
b=16

a und b in c eingesetzt:
c=-25a+5b
c=-50+80
c=30
------------------
d.h.: die Gleichung ist
$\begin{eqnarray*} 2x^{2}+16x+30 \end{eqnarray*}$

Haut das jetzt hin oder hab ich mich irgendwo verrechnet?

Thx

27.09.2005, 17:44

mercany

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Passt!