Extremwertproblem, KEGEL, ZYLINDER

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anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem, KEGEL, ZYLINDER
Hallo,

ich hoffe jemand kann mir bei folgender Aufgabe helfen:

In einen geraden Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden.

Den Radius des Zylinders bezeichne ich mit rz und die Höhe mit hz.

Extremalbedingung:

Vz = pi*rz²hz

NB: nach dem Strahlensatz gilt:
h/r = (h-hz)/rz
<=>rz = r - (r hz)/h

ZF: V(hz) = pi*(r -((r hz)/h)² * hz

Ich hoffe die Schritte sind soweit richtig.

Jetzt weiß ich nicht, wie ich die Zielfunktion umformen soll, sodass ich die Ableitungen bilden kann.

Wer kann mir helfen?
Thales Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, KEGEL, ZYLINDER
Zitat:
Original von anna_88
Jetzt weiß ich nicht, wie ich die Zielfunktion umformen soll, sodass ich die Ableitungen bilden kann.


Ausmultiplizieren und für jeden Summanden die Ableitung nach gemäß der Potenzregel bilden oder Produktregel anwenden.
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Produktregel haben wir noch nicht durchgenommen, deshalb lass ich es lieber.

Hab jetzt ausgeklammert:

V(hz) = pi*r² - ((r hz)/h)² * hz

Bei der Ableitung bin ich mir sehr unsicher:

V ' (hz) = 6,28r - 2 (r hz)/h
Ist bestimmt falsch, oder? Kannst du mir einen Tipp geben, was ich falsch gemacht habe?
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du's ausmultiplizieren willst, dann richtig! Für musst Du die zweite binomische Formel beachten, da fehlt das Mittelglied! Außerdem werden alle Summanden mit der Konstante multipliziert, nicht nur der erste.
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe.

Das Ausklammern ist voll blöd.. : (
Hab es jetzt nochmal versucht, aber irgendwie läuft es nicht so richtig.

Hier mein Ergebnis.

binomische Formel: (r - (r * hz)/h)²
=> r² - 2r *(r hz)/h + ((r* hz)/h)²
<=> r² - (2r² hz)/ h + ((r hz)/h)²

V (hz) = pi* ( r² - (2r²hz)/h + ((r*hz)/h)²) * hz
= pi r² - (2*pi*r²hz)/h + pi * ((r*hz)/h)² * hz
= pi r² - (2*pir² hz)/h + pi * (r hz²)/hz * hz

und das kann ja wohl nicht stimmen, weil die Gleichung nicht zu der Zieflunktion passt....
Nur leider finde ich meinen Fehler nicht...
Was mache ich falsch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
V (hz) = pi* ( r² - (2r²hz)/h + ((r*hz)/h)²) * hz
= pi r² - (2*pi*r²hz)/h + pi * ((r*hz)/h)² * hz
= pi r² - (2*pir² hz)/h + pi * (r hz²)/hz * hz

Achtung: Der Faktor hz bezieht sich auf die ganze Klammer. Daher stimmt schon die 2. Zeile nicht.
 
 
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Würde die zeite Zeile dann in etwa so lauten:

V (hz) = pi*r² hz - (2 pi*r hz)²/h + pi * (r hz)/h) ² * hz ? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso dieses: verwirrt
V (hz) = pi*r² hz - (2 pi*r hz)²/h + pi * (r hz)/h) ² * hz
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Mittelglied nicht richtig mit multipliziert:
!!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

V (hz) = pi*r² hz - (2*pi* r² hz²)/h + pi * (r hz)/h) ² * hz

So besser?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

finde keine Fehler mehr. Augenzwinkern
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut mich. Augenzwinkern

Aber kannst gerne wieder Fehler suchen, und zwar bei den Ableitungen:

V'(hz) = pi* r² - (4*pi*r*hz)/h + 2*pi (r*hz)/h * hz

V '' (hz) = pi*r - (4*pi*r)/h + ??? (hier hab ich keine Ahnung)

Muss man 2*pi (r*hz)/h in der ersten Ableitung noch vereinfachen? Wenn ja, wie?

Und kannst du mir einen Denkanstoß geben, was bei "???" hinkommt?

Danke ...
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Bei V' stimmt die Ableitung des dritten Summanden nicht - nach Ausmultiplizieren in der ursprünglichen Funktion kommst Du dort auf und muss dementsprechend die dritte Potenz ableiten!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
V (hz) = pi*r² hz - (2*pi* r² hz²)/h + pi * (r hz)/h) ² * hz

So besser?


Also stimmt das da oben doch nicht?

Heißt der dritte Summand pi* (r hz/h)³ ??
Wenn ja, kann ich das nicht nachvollziehen..

Oder meinst du mit der ursprünglichen Funktion etwas anderes?
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir keiner helfen? Ich brauch das schon zu morgen... Wär echt nett.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

versuche doch mal term für term einzeln abzuleiten! ich schaue es mir dann an.! vielleicht hast du dich auch nur vertippt!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich versuche die Ableitungen nochmal:

V (hz) = pi*r²*hz - (2*pi*r*hz)²/h + (pi*r²*hz²)/h * hz
= pi*r²*hz - (2*pi*r*hz)²/h + (pi*r*hz³)/h


V'( hz) = pi*r² - (4*pi+r*hz)/h + (3*pi*r*hz²)/h

Was sagst du dazu?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
Ok, ich versuche die Ableitungen nochmal:

V (hz) = pi*r²*hz - (2*pi*r*hz)²/h + (pi*r²*hz²)/h * hz
= pi*r²*hz - (2*pi*r*hz)²/h + (pi*r*hz³)/h


V'( hz) = pi*r² - (4*pi+r*hz)/h + (3*pi*r*hz²)/h

Was sagst du dazu?



beim 2. term fehlt die innere ableitung und beim 3. term hast du ^2 beim r vergessen!


edit: anna ich sehe gerade hierhast du was anderes stehen?

Zitat:
Original von anna_88
V (hz) = pi*r² hz - (2*pi* r² hz²)/h + pi * (r hz)/h) ² * hz

So besser?


was ist nu richtig? welche ausgangsfunktion soll denn gelten?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
Ok, ich versuche die Ableitungen nochmal:

V (hz) = pi*r²*hz - (2*pi*r*hz)²/h + (pi*r²*hz²)/h * hz
= pi*r²*hz - (2*pi*r*hz)²/h + (pi*r*hz³)/h


V'( hz) = pi*r² - (4*pi+r*hz)/h + (3*pi*r*hz²)/h

Was sagst du dazu?

Also es war:
V (hz) = pi*r² hz - (2*pi* r² hz²)/h + pi * (r hz)/h) ² * hz
oder:
V (hz) = pi*r² hz - 2*pi* r² hz² / h + pi * r²* hz³ / h²
Das wäre jetzt abzuleiten.
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit der "inneren Ableitung" beim zweiten Term?
ich versteh nicht, was damit gemeint ist.

hier nochmal die erste Ableitung:

V'(hz) = V'( hz) = pi*r² - (2*pi*r*hz)/h + (3*pi*r²*hz²)/h

und die zweite:

V''(hz) = 2*pi*r - (2*pi*r)/h + (2*pi*r²*hz)/h

Stimmen die nun soweit?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
hier nochmal die erste Ableitung:

V'(hz) = V'( hz) = pi*r² - (4*pi+r*hz)/h + (3*pi*r²*hz²)/h
Stimmen die nun soweit?

Also das + im 2. Summand ist fehl am Platz. Dann war da ein r² drin und beim 3. Summand war ein h² im Nenner, oder?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(2*pi*r*hz)²/h

(2*pi* r² hz²)/h


das sind die beiden mittleren terme aus 2 verschiedenen, von dir angesetzten ausgangsfunktion! welche ist nun richtig! beachte es ist entscheidend ob du das^2 in der klammer stehen hast oder nicht! denn wenn es draußen steht , dann fehlt die innere ableitung!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das im zweiten Summand war ein Tippfehler, hab ich auch schon editiert..
und nen r² hatte ich auch nicht drin...

Ich hatte in keinem Term ein h² im Nenner...

Bin jetzt grad ein "bisschen" verwirrt...

V (hz) = pi*r²*hz - (2*pi*r*hz)²/h + (pi*r²*hz²)/h * hz
= pi*r²*hz - (2*pi*r*hz)²/h + (pi*r*hz³)/h

das war doch die richtige Ausgangsfunktion, oder doch nicht?
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ^2 muss IN der Klammer stehen, oder?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
Das ^2 muss IN der Klammer stehen, oder?


das mußt du mir sagen, ich rechne jetzt nicht die ganze aufgabe durch anna! ich brauche nur die exakte ausgangsfunktion von dir ! dann kann ich dir sagen ob deine ableitung richtig ist oder nicht! smile
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sage doch : in der Klammer... das war eine rhetorische Frage Augenzwinkern

Also gut, also nochmal:

Die Ausgangsfunktion:

V (hz) = pi*r²*hz - (2*pi*r*hz²)/h + (pi*r²hz³)/h

Die Ableitungen:

V'(hz) = pi*r² - (2*pi*r*hz)/h + (3*pi*r²*hz²)/h

V''(hz) = 2*pi*r - (2*pi*r)/h + (2*pi*r²hz)/h

Kannst du das dann bitte nochmal nachgucken??
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

zur 1. ableitung) wenn du aus der 2 im mittleren term ne 4 machst dann bin ich zufrieden! smile
dei 2, ableitung stimmt nicht ganz! denkt daran, die ableitung einer konstante ist 0!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

V'(hz) = pi*r² - (4*pi*r*hz)/h + (3*pi*r²*hz²)/h

So. smile

Das mit der Konstanten bei der 2. Ableitung ist mir nicht ganz klar. Woher weiß ich, dass das eine Konstante ist? Und wofür muss ich dann 0 einsetzen?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ja!die1. ableitung ist oki!

zur 2. ableitung) schau mal 1. term ist doch ne konnstante, ist nicht mit hz behaftet, also wird er beim ableiten 0!

es ist so als ob du ableitetst! eswird 0!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ok..

Also ist die zweite Ableitung dann

V'' (hz)= = - (4*pi*r) / h ?

Ich überleg grad auch schon, wie ich die 1. Ableitung gleich Null setze... Ist irgendwie nicht so einfach ...

pi*r² - (4*pi*r*hz)/h + (3*pi*r²*hz²)/h = 0
Wonach sollte man am besten auflösen? Und womit fängt man an?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

nee 2. ableitung stimmt noch nicht!


V'(hz) = pi*r² - (2*pi*r*hz)/h + (3*pi*r²*hz²)/h

erster term fällt weg!


ableitung vom 2. term =?? Augenzwinkern

ableitung vom 3. term= ??? Augenzwinkern
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

V'(hz) = - (4*pi*r*hz)/h + (3*pi*r²*hz²)/h

V'' (hz) = - (4*pi) /h + (3*pi*r²) /h

So?

(Gut, dass wir die Klausur erst nach den Ferien schreiben...)
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
V'(hz) = - (2*pi*r*hz)/h + (3*pi*r²*hz²)/h

V'' (hz) = - (2*pi) /h + (3*pi*r²) /h

So?

(Gut, dass wir die Klausur erst nach den Ferien schreiben...)



Augenzwinkern

edit: du machst zu viele abschreibfehler!!!!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Abschreibfehler? .... Symptome für Müdigkeit!!
Ich will das endlich fertig haben ...
Und du setzt dich freiwillig da dran, Respekt!
Ich würde auch gern Mathe mögen.. Augenzwinkern

Sooooooo :

V ' (hz) = pi*r² - (4*pi*r*hz)/ h + (3*pi*r²hz)/ h

V'' (hz) = - (4*pi*r*hz)/h + (6*pi*r*hz)/h Augenzwinkern

Nur wonach soll ich die erste Ableitung auflösen? Und wie soll ich das überhaupt machen mit den zwei h in den Nennern?

Bitte möglichst aussagekräftige Tipps geben, wo ich nicht mehr gaaaanz so viel überlegen muss... will nämlich heute noch schlafen gehen... Augenzwinkern

Daaaanke...
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe mir die ganze aufgabe nicht durch gelesen!
aber ich nehme an steht, dann gilt es das extrema für V zu bestimmen in abhängigkeit von ?
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja..
also muss ich nach hz auflösen?

zum Beispiel so:

V'(hz) = V ' (hz) = pi*r² - (4*pi*r*hz)/ h + (3*pi*r²hz)/ h I*h

= pi*r2*h - 4*pi+r*hz + 3*pi*r²*hz²
... so geht's doch unendlich weiter, man kann das ja gar
gar nicht auflösen...
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

so hab die aufgabe schnell überflogen! hoffe ich habe nix falsches gelesen.
soll maximal werden! also erste ableitung 0 setzen!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja grade mein Problem, wenn ich die erste Ableitung gleich Null setzel, geht da irgendwie nicht weiter! Weil da 2 h im Nenner sind und wenn ich alles mit h multipliziere sind da voll viele Variabeln... und die krieg ich nicht weg... Mein Problem ist also, wenn die erste Ableitung gleich Null ist, nach hz aufzulösen.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
NB: nach dem Strahlensatz gilt:
h/r = (h-hz)/rz
<=>rz = r - (r hz)/h



Hier fängt deine Fehlerquelle an!! Deine Umstellung nach ist schon falsch!









ich bekomme als ergebnis für ein maximum!
kann sein daß ich mich um diese zeit verrechnet habe! smile
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke...!
Aber war eh zu spät, war nicht mehr online und wir haben die Aufgabe heute schon in der Schule besprochen.
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