ableitung cosx

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suffelschen Auf diesen Beitrag antworten »
ableitung cosx
wie kann ich denn beweisen, dass f'(cosx) = -sinx ist?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

wenn die ableitung von sin(x) schon bekannt ist, ist es ein leichtes durch die identität sin^2(x)+cos^2(x)=1 das ganz elegant zu lösen.
wenn nicht:
allgemein sollte bekannt sein die ableitung ist

zeichen dir mal eine skizze am einheitskreis und zeichne dir die änderung in form eines steigungsdreieckes ein.

was fällt auf ?

servus
suffelschen Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab ich gemacht und dann additionstheorem



aber wie kann ich es jetzt so umformen, sodass ich grenzwertsätze benutzen kann?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

mhh .. ich glaube du hast mich missverstanden.

wenn du auf den beweis, das sin'(x) = cos(x) ist zurückgreifen kannst, dann kannst du die additionstheoreme benutzten ..

sieht dann so aus:

nach der kettenregel kommt dann raus:

(cos(x))' kennen wir ja noch nicht!

dann wird 2 und cos(x) ausgeklammert und gekürzt dann steht da:

was ja umgeformt nichts anderes ist als:

Q.E.D

nochmal: allerdings muss ich dazu auf den beweis der ableitung des sinus zurückgreifen können dürfen !

andernfalls muss man es ausführlich über den differentialqoutienten machen:

und wie mach ich weiter ?

servus
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus

nach der kettenregel kommt dann raus:

sin^2+cos^2=1
einfach in einer gleichung ableiten ist etwas gewagt, findest du nicht? verwirrt

[edit: obwohl ich bei näherer betrachtungsweise sogar gestehen muss, dass das hier korrekt ist; ist nur sehr komisch aufgeschrieben!]
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Gott
tut mir leid !!
ich werds gleich formell richtigstellen Augenzwinkern

aber vom prinzip her: ich leite alles ab, von funktionen über philosophische leitsätze bis hin zu gleichungen oder sogar blitze!
da bin ich ganz leidenschaftslos ^^

servus
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

sollte kein meckern sein Augenzwinkern
ich muss nur zugeben, dass es mich so mehr als verwirrt hat und ich dachte mir, dass geht sicher vielen anderen auch so

Zitat:

nach der kettenregel kommt dann raus:
"und natürlich gilt aber auch (da ) "

ich glaube, diesen teil solltest du auch noch ähnlich nachfügen, ich weiß nicht ob der allen klar ist

so gefällt mir der beweis gut Freude
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, wie kriegt man das mit dem Differenzenquot. hin?
Ich hab es schon irgendwo mal gesehen, aber mit der Skizze komme ich nicht weiter.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo irre.flexiv!





Potenzreihenentwicklung:






Gruss yeti
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich mich erinnern kann muss das ganze auch ohne Additionstheoreme und Potenzreihenentwicklung möglich sein, ich glaube durch irgendeine Abschätzung an der Skizze.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, es geht auch geometrisch!

wenn du die skizze vor dir hast, dann solltest du sehn das wenn du x (den winkel) ein bisschen grösserst (+h) dann bekommst du auch ein minimale änderung in der länge des cos : er wird minimal kürzer.

nun betrachte bitte den punkt wo die strecke den einheitskreis schneidet.
wenn du die änderung nur klein genug machst, ähnelt der kreisbogen einem dreieck.
an diesem erkennt man das cos(x+h)-cos(x) nichts anderes ist als die gegenkathete in dem dreieck (die leider negativ ist, wegen drehsinn) und die änderung h selbst im bogenmaß die hypotenuse. und das ist dann das steigungsdreieck d\dx : -gegenkathete/hypothenuse = -sinus

ich kanns leider nicht besser ausdrücken, hab mir da auch schon schwergetan des mit worten rüberzubringen, hab leider keine möglichkeit eine schöne skizze zu machen unglücklich

hast dus trotzdem verstanden ?
hoffe es ja
servus
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Dreieck kann ich nachvollziehen, aber warum ist der Quotient
-Gegenkathete/Hypothenuse jetzt ausgerechnet sinx. Wo liesst du das ab?
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@irre.flexiv
@Lazarus

Geht es bei diesen Überlegungen am Kreis nur um die Anschaulichkeit?

Streng analytisch hat dieses Vorgehen doch keine Beweiskraft. Der cos und der sin sind nun mal durch Potenzreihen definiert.

Gruss yeti
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von yeti777
@irre.flexiv
@Lazarus

Geht es bei diesen Überlegungen am Kreis nur um die Anschaulichkeit?

Streng analytisch hat dieses Vorgehen doch keine Beweiskraft. Der cos und der sin sind nun mal durch Potenzreihen definiert.

Gruss yeti


Echt? Auf Wikipedia hab ich erst kürzlich folgendes gelesen:

Zitat:

Nachfolgend wird eine geometrische Berechnung der Ableitung der Sinusfunktion dargestellt. Eine exakte Berechnung mit Methoden der Analysis ist nicht möglich, da Sinus und Kosinus bisher nur geometrisch und nicht analytisch definiert sind.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

In der Schuhlmathematik wird Sinus und Cosinus immer geometrisch definiert falls du dich noch erinnern kannst.
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