Kreistangenten

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Phil++ Auf diesen Beitrag antworten »
Kreistangenten
Hallo liebe Matheboard Spezialisten

Ich habe Probleme folgendes Beispiel zu lösen und bitte darum um Eure Hilfe.

Es geht um 3 Kreistangenten.

t1 und t2 sollen parallel sein und von einer 3. Tangente t3 geschnitten werden.

Ich soll nun für den Kreis mit M(0/-3) und Radius 10 beweisen, dass der Winkel zwischen S1MS2 90° beträgt wobei in S1 t1 normal auf t3 und in S2 t2 normal auf t3 steht.

Ich habe leider keine Idee wie man das machen könnte.

Also wenn ich die 2 Schnittpunkte hätte würde ich die Vektoren MS1 und MS2 berechnen und könnte mir dann den Winkel dazwischen ausrechnen und so beweisen, dass er 90° beträgt.

Aber wie komme ich mit diesen Angaben auf auf Tangentengleichungen oder die Schnittpunkte?

Das Bsp. geht noch weiter aber dazu erst falls ich das schaffe.
TequilaSunrise Auf diesen Beitrag antworten »

Satz des Thales sag ich nur smile
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage krankt wieder einmal an einer unklaren Aufgabenstellung. Entweder du gibst eine Skizze dazu oder du schreibst den Aufgabentext im Originalwortlaut.

Wenn S1 und S2 die Berührungspunkte der beiden auf t3 normalstehenden Tangenten mit dem Kreis sind, kann der Winkel S1MS2 niemals 90° betragen (t1 und t2 sind parallel).

Im Falle der Beweis analytisch erfolgen soll, darf dazu der Thalessatz nicht herangezogen werden.

mY+
Phil++ Auf diesen Beitrag antworten »

S1 ist der Schnittpunkt von t1 und t3 und S2 ist der Schnittpunkt von t2 und t3.
Phil++ Auf diesen Beitrag antworten »

Und der Winkel zwischen Mittelpunkt zu S1 und Mittelpunkt zu S2 soll 90° sein.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hab's schon verstanden Big Laugh

Du kannst das ganze Gebilde der drei Tangenten ja um den Kreis beliebig drehen.
Nimm daher t1 und t2 parallel zur x-Achse an, die dritte Tangente schneide diese in den Punkten S1(u;7) und S2(v;-13).

Die Vektoren MS1 bzw. MS2 lauten dann (u; 10) und (v; -10). Wenn sie aufeinander senkrecht stehen sollen, muss ihr skalares Produkt 0 sein, also
->
uv - 100 = 0 bzw. uv = 100.

Dass dies in jedem Falle gilt, wenn nur t3 eine Tangente an den besagten Kreis ist, ist nun zu zeigen. Dazu sei T der Berührungspunkt von t3 mit dem Kreis. Wie leicht zu sehen ist, gilt u = S1T und v = S2T, somit bilden die Strecken MS1, MS2 und S1S2 ein rechtwinkeliges Dreieck ...

Nun muss du im Pythagoras nur noch den Betrag des Vektors S1S2 und die Beträge der anderen beiden MS1 und MS2 einsetzen und schon ...

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

muß man da wirklich vektoren oder den satz von thales (wie eigentlich) bemühen verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

werner, die dritte Tangente t3 muss nicht senkrecht zu t1, t2 stehen, der Satz gilt nämlich auch dann. Und eigentlich für diesen allgemeinen Fall habe ich den Beitrag erstellt. Dann wird dieser Beweis eher interessant.

Aber es stimmt, in der Angabe steht tatsächlich, dass t1, t2 senkrecht zu t3 sind. Naja, dann wird's ja geradezu baby'sch Big Laugh
Phil++ Auf diesen Beitrag antworten »

Danke mYthos die Erklärung ist sehr hilfreich aber ich habe noch ein paar Fragen.

Nach dieser Methode sind die x Koordinaten von S1 und S2 auch bekannt, oder die wären dann auch 10?

Also S1(10/7) und S2(10/-13) und T(10/-3)

Damit hätte ich beide Schnittpunkte und könnte jeweils die Strecken vom Mittelpunkt zu ihnen, also MS1 und MS2 und S1S2 berechnen und deren Beträge dann in den Pythagoras einsetzen?

Aber wozu brauche ich uv=100 ich bin sicher das es wichtig ist und darum frage ich.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

u und v musst du allgemein lassen, denn der Satz soll ja für jede beliebige Lage von t3 gelten. Allerdings haben u und v einen Zusammenhang, es ist also nur eine der beiden Größen frei wählbar.

Zur Veranschaulichung eine Skizze, wie die Lage allgemein bei mir aussieht. Die Koordinaten von S1 und S2 lauten demnach S1 (u; 7) und S2 (v; -13).

Erst im Falle, dass t3 senkrecht zu t1, t2 ist, lauten S1(10; 7), S2(10; -13) und T(10; -3), ja richtig (u = v = 10). Dann braucht's tatsächlich nicht mehr die weiteren Berechnungen, denn dann sieht man doch sofort, dass bei S1 und S2 jeweils ein Quadrat vorliegt, die beiden Winkel 45° sind und der gesuchte demnach 90° ist.

Als "Bonus" kannst du eben auch im allgemeinen Fall für t3 beweisen, dass der Satz auch dann gilt, also ist die Orthogonalität von t3 zu t1, t2 keine unbedingte Voraussetzung.

Nicht analytisch funktioniert der Beweis auch nur über die Winkelbeziehungen.

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
werner, die dritte Tangente t3 muss nicht senkrecht zu t1, t2 stehen, der Satz gilt nämlich auch dann. Und eigentlich für diesen allgemeinen Fall habe ich den Beitrag erstellt. Dann wird dieser Beweis eher interessant.

Aber es stimmt, in der Angabe steht tatsächlich, dass t1, t2 senkrecht zu t3 sind. Naja, dann wird's ja geradezu baby'sch Big Laugh


ja eben, aber eine frage dazu:
hast du eine ahnung, wie das (sogar im baby´schen fall) mit dem thales gehen soll verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
hast du eine ahnung, wie das (sogar im baby´schen fall) mit dem thales gehen soll verwirrt


Der Mittelpunkt der Strecke S1S2 hat den gleichen Abstand zu M wie zu S1 und S2.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

H ist der Mittelpunkt des Thaleskreises, auch schön, aber eben nicht analytisch!

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
H ist der Mittelpunkt des Thaleskreises, auch schön, aber eben nicht analytisch!


Wieso nicht? Man müsste einfach zeigen

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit nicht analytisch war gemeint, dass der Winkel von 90° in diesem Falle nur durch die geometrische Eigenschaft des Thaleskreises nachgewiesen wird. Die Bestimmung des Thaleskreises auf analytischem Weg ändert nichts daran, dass die Eigenschaften des Thaleskreises für den Nachweis des rechten Winkels erforderlich sind. Ich wollte die Orthogonalität auf rein analytischem Weg nachweisen:

MS1 = (u; 10), MS2 = (v; -10); S1S2 = (u-v; 20)

Pythagoras:







Magst aber recht haben, denn auch der Einsatz des Pythagoras ist in diesem Falle nicht echt analytisch ...
Die rein analytische Methode geht offensichtlich nur über die Tangentengleichung.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe. Na, dann kann man den Satz des Thales ja noch analytisch beweisen und hier verwenden. Augenzwinkern
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