Fourier-Reihe f(x)=1+sin^2(x)

27.09.2005, 22:27

nschlange

Fourier-Reihe f(x)=1+sin^2(x)

Hallo,

ich möchte zur Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=1+sin^2(x) \end{eqnarray*}$ die Fourier-Reihe ausrechnen.
Die Fktn. ist gerade, daher sind die b_n = 0.

Durch geschickte Umformung
$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \frac{1}{2} [1-cos(2x)] \end{eqnarray*}$
kann man direkt schreiben:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}cos(2x) \end{eqnarray*}$
und hat die Fourier-Reihe mit $\begin{eqnarray*} a_0 = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich aber
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}~f(x)cos(nx)~dx \end{eqnarray*}$
ausrechne komme ich immer auf
$\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich die a_n ausrechnen?

Viele Grüße
nschlange

27.09.2005, 23:02

sqrt(2)

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RE: Fourier-Reihe f(x)=1+sin^2(x)

Zitat:

Original von nschlange
Wenn ich aber
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}~f(x)cos(nx)~dx \end{eqnarray*}$
ausrechne komme ich immer auf
$\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$

Das ist interessant: Die Stammfunktion, die der Integrator ausspuckt, ist tatsächlich für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ null, bis auf den Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ .

http://integrals.wolfram.com/webMathematica/Integrate.jsp?expr=%281%2BSin%5Bx%5D%5E2%29*Cos%5Bn%20x%5D&format=StandardForm&fontsize=Medium

Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ist der Ausdruck undefiniert. Auch sieht es nach kurzem Plotten nicht so aus, als wäre der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to2 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$ ...

27.09.2005, 23:23

Mathespezialschüler

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Die Integrale der Form

$\begin{eqnarray*} \int~\cos mx\cdot \sin nx~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

kann man damit lösen.

Gruß MSS

28.09.2005, 00:17

nschlange

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Guten Abend!

Vielen Dank für die Hilfe, jetzt ist alles klar.

Für alle n =/= 2 war das Integral ja richtig.
Ich hab übersehen, dass es nicht für n=2 gilt
und daher nicht explizit a_n(n=2) ausgerechnet.

Mein Mathelehrer hätte mir in den Hintern getreten.

Viele Grüße
nschlange

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