Eigenräume berechnen

08.04.2008, 18:18

w!cked

Eigenräume berechnen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist eine vorgegebene Matrix. Zuerst sollte geprüft werden, ob $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor dieser Matrix ist. Da kein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ existiert so das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gilt ist besagter Vektor auch kein Eigenvektor.

Als nächster Schritt sollen die Eigenwerte und Eigenräume berechnet werden. Über das charakteristische Polynom habe ich die Eigenwerte 5 und -3 ermittelt. Für jeden Eigenwert soll ich nun den Eigenraum berechnen, weiß aber nicht konkret wie ich da jetzt ansetzen muss ?

08.04.2008, 18:20

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei A eine quadratische Matrix mit Eigenwert t. Der Eigenraum bzgl. t besteht nun aus den Vektoren x, für die gilt Ax = tx.

08.04.2008, 18:51

w!cked

Auf diesen Beitrag antworten »

Also rechne ich das LGS aus und erhalte dadurch meinen Vektor/ meine Vektoren?

Für den Eigenraum wird zudem ein Kern verlang , der eine 2x2-Matrix sein soll ?!? Verwirrt mich jetzt noch mehr...

08.04.2008, 18:53

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von w!cked
Für den Eigenraum wird zudem ein Kern verlang , der eine 2x2-Matrix sein soll ?!?

Das ist Quatsch. Poste doch mal die exakte Aufgabenstellung.

08.04.2008, 19:01

w!cked

Auf diesen Beitrag antworten »

Den ersten Teil der Aufgabenstellung habe ich oben schon beschrieben und auch korrekt gelöst.

Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume.

Die Eigenwerte sind bereits berechnet und auch korrekt.

Reden wir mal nur zuerst vom Eigenwert 5:

Wenn man das LGS löst stößt man auf x1=x2, sprich der Eigenraum sind alle Vektoren die diese Struktur haben?

In der Lösung wird dies aber nicht so hergeleitet wie ich es getan habe, sondern so;

Eigenraum von Eigenwert 5 = Kern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = Kern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = span $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Meine Aussage bezüglich des Kerns war falsch. Wie ist aber der Zusammenhang zwischen dem Eigenraum und den beiden Matrizen ?

Edit: Für -3 habe ich analog ausgerechnet dass -x1=x2, die Lösung sagt:

Eigenraum von Eigenwert -3 = Kern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = Kern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = span $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} -1 \\1 \\ \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

08.04.2008, 19:18

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch richtig gerechnet. Was hast du jetzt noch für Fragen? Stell die Fragen so, dass man sie auch versteht.

08.04.2008, 19:26

w!cked

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe den Rechenweg mit dem Kern jeweils nicht.

Ich bin ja "nur" darauf gekommen, dass (um beim Eigenwert 5) zu bleiben, alle Eigenvektoren die Struktur x1=x2 haben, woraus folgt das der Eigenraum der besagte Spann ist.

In der Musterlösung wird dies aber über die besagten Kerne gemacht, und da würde mich der Zusammenhang interessieren ?!?

08.04.2008, 19:34

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Lösung des LGS Ax = tx berechnet (mit t = 5). Es gilt

Ax = tx <==> Ax - tx = 0 <==> (A - tI)x = 0 <==> x aus kern(A - tI).

Dabei soll I die 2x2-Einheitsmatrix bezeichnen.

08.04.2008, 20:28

w!cked

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Neue Frage »

Antworten »

Eigenräume berechnen

Verwandte Themen