Schwieriger Grenzwert

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28.09.2005, 16:28	j3ns	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwieriger Grenzwert Hallochen, bräuchte mal eure Hilfe bei einer Grenzwertbestimmung, bin seit über einem Jahr raus aus dem Thema und hab deswegen schwierigkeiten das zu lösen. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{3x \sqrt{x} + 5x}{7x - 6x * \sqrt{2x}} \end{eqnarray*}$ Hatte erst die Idee irgendwie die Wurzeln aufzulösen, man "Multipliziert indem man die Exponenten addiert" .. naja hat nicht so gut geklappt. Bitte helft mir!!! Danke euch Jens
28.09.2005, 16:35	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib einfach statt $\begin{eqnarray} \sqrt{x} = x^{1/2} \end{eqnarray}$ da hin, und für $\begin{eqnarray} x \cdot \sqrt{x} = x ^{3/2} \end{eqnarray}$ .
28.09.2005, 16:41	j3ns	Auf diesen Beitrag antworten »
also gehts doch so ... Dann wäre das für $\begin{eqnarray} 6x \sqrt{2x} \end{eqnarray}$ ... ähm $\begin{eqnarray} \sqrt{6x³} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sqrt{12x³} \end{eqnarray*}$ ???
28.09.2005, 16:46	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
hä? nö! aber: $\begin{eqnarray} 6 x \cdot \sqrt{2x} = 6 \cdot x \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} = ... \end{eqnarray}$ und, wie geht es nun weiter? edit: eigentlich wollte ich auch, dass Du die Wurzel durch gebrochen rationale Exponenten ersetzt.
28.09.2005, 16:50	j3ns	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub ich habe gerade irgendwo einen Denkfehler ... Ich weiß dass als Ergebnis "-1/2" rauskommen muss, aber ich kenn den Rechenweg nicht, weil ich das über 1 Jahr nich mehr gemacht habe, man will kaum glauben dass ich MatheLK habe und inner 13. Klasse bin ^^ Pls ich brauch irgendwas um das nachzuvollziehen :/
28.09.2005, 17:01	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
für den Nenner kann man schreiben: $\begin{eqnarray} 7 \cdot x - 6 \cdot x \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} = 7 \cdot x - 6 \cdot \sqrt{2} \cdot x \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 7 \cdot x^{1} - 6 \cdot \sqrt{2} \cdot x^{1} \cdot x^{1/2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 7 \cdot x^{1} - 6 \cdot \sqrt{2} \cdot x^{1+1/2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 7 \cdot x^{1} - 6 \cdot \sqrt{2} \cdot x^{3/2} \end{eqnarray}$ wie geht das dann für den Zähler?! kannst Du das nachvollziehen?
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28.09.2005, 17:06	j3ns	Auf diesen Beitrag antworten »
naja das ist $\begin{eqnarray} 3x^{\frac{3}{2}} + 5x \end{eqnarray}$ Aber wenn ich die beiden habe, muss ich dann erweitern oder ich hab noch Aufzeichnungen gefunden wo ich x ausgeklammert habe und dann was raus hatte oder sowas
28.09.2005, 17:07	cto	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwieriger Grenzwert Im vorliegenden Fall kürzt du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x, die im Zähler vorkommt, das ist hier: $\begin{eqnarray} x^{\frac{3}{2}} = x\cdot \sqrt{x} \end{eqnarray}$ Dann erhältst Du: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{3x\cdot \sqrt{x}+5x}{7x-6x\cdot \sqrt{2x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{ 3x\cdot \sqrt{x}+5x }{ x\sqrt{x} } }{ \frac{ 7x-6x\cdot \sqrt{2x} }{ x\sqrt{x} } }=\lim_{x \to \infty} \frac{ 3 + \frac{5}{\sqrt{x}}}{ \frac{7}{\sqrt{x}}-6}=\frac{3}{-6}. \end{eqnarray}$ Das letzte Gleichzeichen gilt wegen der Grenzwertsätze, du kannst die Limites einzeln ausrechnen. edit by jochen: schrecklich viel latex verbessert, das war programmierstil + viele kleine fehler außerdem: keine enter im latex
28.09.2005, 17:15	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
und wo geht die wurzel(2) hin? -1/2 als eregbnis stimmt nicht
28.09.2005, 17:17	cto	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwieriger Grenzwert Völlig korrekt, LOED. Die Wurzel habe ich unterschlagen, und wenn man das nicht tut, dann landet man bei $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}\frac{3 + \frac{5}{\sqrt{x}}}{\frac{7}{\sqrt{x}}-6\sqrt{2}}=\frac{3}{-6\sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}. \end{eqnarray}$
28.09.2005, 17:26	j3ns	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm also geht das doch nicht so einfach. Fragt sich nur wie man es noch anders lösen kann, erweitern oder sowas?
28.09.2005, 17:31	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
doch, das geht so einfach, der "cto" hat nur eine $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ vergessen, der Rest war richtig. Schreib doch mal hin, wie weit Du nun kommt: Zähler und Nenner vereinfachen. Dann musst Du im Zähler und im Nenner das x mit dem größten Exponenten (bei uns 3/2) ausklammern. Dann kannst Du von allen Summanden getrennt die Grenzwerte bestimmen und weiter sehen.
28.09.2005, 17:35	j3ns	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung hat cto schon geschrieben, ok also stimmt "-1/2" doch nicht. Na guti wunderbar ich danke euch, meiner einziger Denkfehler war eigentlich, dass ich versucht habe die wurzel aufzulösen und dann letztendlich dasselbe zu machen wie ihr, aber so einfach wie ich dachte gings dann nicht.

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