Eine Nullsumme für Kombinatorikfreaks

29.09.2005, 11:35	Physiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Nullsumme für Kombinatorikfreaks Hallo alle. Folgende Identität ist einem meiner probleme aufgetreten, Mathematica sagt mir, daß das für alle n erfüllt ist. $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n {{n \choose{k}} \cdot [(2k-n)^2-n] }= 0 \end{eqnarray}$ Warum ist das null? Bin für jegliche Hinweise dankbar, habe nach Wälzen diverser Mathebücher keine Hinweise finden können und meine eigenen Versuche das umzuformen haben auch auf keinen grünen Zweig geführt.
29.09.2005, 12:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal folgendes: Für $\begin{eqnarray} m\leq n \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot k(k-1)\cdot\ldots\cdot(k-m+1) &=& \sum_{k=m}^n {n \choose k} \cdot k(k-1)\cdot\ldots\cdot(k-m+1) = \sum_{k=m}^n {n-m \choose k-m} \cdot n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-m+1)\\ &=& n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-m+1)\cdot \sum_{j=0}^{n-m} {n-m \choose j} = n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-m+1)\cdot 2^{n-m} \end{eqnarray}$ Nachträglich sieht man jetzt noch, dass die Gleichheit ganz links mit ganz rechts auch für $\begin{eqnarray} m>n \end{eqnarray}$ gilt, da steht da jeweils Null. Schreiben wir nun in dieser Hinsicht mal den Faktor nach dem Binomialkoeffizienten etwas um: $\begin{eqnarray} (2k-n)^2-n = 4k^2-4kn+n^2-n = 4\cdot k(k-1)-4(n-1)\cdot k+n(n-1)\cdot 1 \end{eqnarray}$ Kannst du dir denken, wie's weiter gehen könnte?
29.09.2005, 16:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier gibt es etwas Ähnliches.
29.09.2005, 17:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei das $\begin{eqnarray} (-1)^k \end{eqnarray}$ die Sache eher noch vereinfacht, da muss ich oben nur wenig anpassen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} \cdot k(k-1)\cdot\ldots\cdot(k-m+1) &=& (-1)^m n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-m+1)\cdot \sum_{j=0}^{n-m} (-1)^j {n-m \choose j}\\ &=& (-1)^m n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-m+1)\cdot 0^{n-m} = 0 \end{eqnarray}$
14.10.2005, 18:01	Physiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal. Sorry daß ich nicht früher geantwortet habe, hatte viel um die Ohren und habe jetzt erst wieder den bookmark auf diesen thread angeschaut. Tausend Dank für die sehr schnelle Antwort! Die hinteren Terme hatte ich inzwischen gelöst, der k^2 hat mir noch Probleme gemacht, lässt sich aber dank deiner Formel prima erschlagen, Arthur.

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