Diagonalisierbar

29.09.2005, 15:56

matze2002

Diagonalisierbar

Hallo zusammen, bin gerade bei LA II und will überprüfen ob Matrizen Diagonalisierbar sind, dafür schaue ich mir ihr Charakteristisches Polynom und ihr Minimalpolynom an,wenn das Mi-Po in Linear faktoren erfällt dann ist die Matrix doch Diagonalisierbar..... meine erste frage, gibt es noch mehr kriterien um zu überprüfen ob eine Matrix diagonalisierbar ist?

zweite frage hab ich richtig gerechnet?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 7 & -4 & 0 \\ 8 & -5 & 0 \\ 6 & -6 & 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Char. Poly = (T-3)^2(T+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Mi-Po=(T-3)(T+1) \end{eqnarray*}$ weil (A-1)(A+3)=0,kann man das auch schneller begründen, ist ja eine grosse rechnerrei

$\begin{eqnarray*} ==> Diagonalisierbar \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Char. Poly = (T+2)(T-4) = Mi-Po \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ==> Diagonalisierbar \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Char. Poly = (T-1)(T^2+1)(-1)=Mi-Po \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ==>nicht Diagonalisierbar \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Char. Poly = (1-T)^2(3-T)=Mi-Po \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ==>nicht Diagonalisierbar \end{eqnarray*}$

29.09.2005, 17:56

irre.flexiv

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Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist, d.h.
wenn es eine reguläre Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ gibt so dass $\begin{eqnarray*} D = PAP^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist.

Die Diagonalelemente von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sind gerade die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und die Spalten von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ die Eigenvektoren.

29.09.2005, 21:21

matze2002

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aehm ja... danke für diese.... antwort....

29.09.2005, 21:37

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@matze2002

Wieso meinst du, dass die vorletzte Matrix nicht diagonalisierbar ist? In $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist sie es jedenfalls!

30.09.2005, 18:13

irre.flexiv

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Zitat:

aehm ja... danke für diese.... antwort....

Du wolltest doch wissen ob es noch andere Kriterien gibt oder irre ich mich da?

04.10.2005, 22:50

matze2002

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@ arthur, danke hast recht, habs bis jetzt nur über R betrachtet....
@ irre... naja danke auch aber ich such ein schnell kriterium... ich will schnell erkennen ob es diagonalisierbar ist... bis zum mi-po ist schon mal eine gute sache aber dann noch ein S finden ok, aber dann habe ich es ja schon Diagonalisiert, dann seh ich es direkt an der Matrix

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