sqrt(i) beweisen?

30.09.2005, 07:36	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
sqrt(i) beweisen? Hallo. Mein Taschenrechner gibt aus: sqrt(i) = 0.707106781 + 0.707106781 i Ich rätzle schon seit einiger Zeit, warum dieses Ergebnis rauskommt. Komplexe Zahlen nehmen wir in der Schule noch nicht durch - ich habe mich nur privat damit oberflächlich beschäftigt. Kann mir jemand eine Seite geben, auf der Erklärt wird, warum dieses Ergebnis rauskommt (möglichst in verständlicher Sprache)?
30.09.2005, 08:50	pimaniac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sqrt(i) beweisen? Naja am einfachsten schreibst du die Zahl mal in Exponentialdarstellung, da gilt $\begin{eqnarray} i=e^{\frac{i\pi}{2}} \end{eqnarray}$ Daraus kann man jetzt leicht die Wurzel ziehen $\begin{eqnarray} \sqrt{e^{\frac{i\pi}{2}}}=e^{\frac{i\pi}{4}} \end{eqnarray}$ Das kannst du jetzt mit Hilfe der Formel $\begin{eqnarray} e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta} \end{eqnarray}$ ausrechnen, und schon kommst du aufs gewünschte Ergebnis
30.09.2005, 16:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ blackdrake Dein Taschenrechner weiß halt nicht, daß $\begin{eqnarray} 0{,}70710678 \ldots = \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ gilt. Um das Ergebnis des Taschenrechners zu überprüfen, rechne doch einfach $\begin{eqnarray} \left( \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} \, \operatorname{i} \right) \cdot \left( \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} \, \operatorname{i} \right) \end{eqnarray}$ aus. Du kannst dabei ganz normal ausmultiplizieren und mußt nur $\begin{eqnarray} \operatorname{i}^2 = -1 \end{eqnarray}$ beachten. Und vielleicht probierst du es dann einmal mit $\begin{eqnarray} \left( - \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \, \operatorname{i} \right) \cdot \left( - \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \, \operatorname{i} \right) \end{eqnarray}$ Du wirst dasselbe Ergebnis erhalten. Wieso sich dein Taschenrechner für die erste Möglichkeit entscheidet, bleibt sein Geheimnis (und wird vielleicht in der beiliegenden Betriebsanleitung erläutert).
30.09.2005, 18:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
01.10.2005, 18:39	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und vielen Dank für euere Hilfe! Durch die Ableitung von e ist mir das verständlicher geworden und ich konnte eine Zurückrechnung machen: $\begin{eqnarray} \sqrt{xi} = m+mi \end{eqnarray}$ (^2) $\begin{eqnarray} xi = (m + mi)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xi = m^2 + m^2i + m^2i + m^2i^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xi = m^2 + 2m^2i + m^2 (-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xi = m^2 + 2m^2i - m^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xi = 2m^2i \end{eqnarray}$ (:i) $\begin{eqnarray} x = 2m^2 \end{eqnarray}$ (:2) $\begin{eqnarray} \frac{x}{2} = m^2 \end{eqnarray}$ (sqrt) $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{x}{2}} = m \end{eqnarray}$ Es gilt damit die Formel:* $\begin{eqnarray} \sqrt{xi} = \sqrt{\frac{x}{2}} + \sqrt{\frac{x}{2}} i \end{eqnarray}$ Was ich jedoch noch nicht geschafft habe: Wie rechne ich eine beliebige Wurzel von xi aus? $\begin{eqnarray} \sqrt[y]{xi} = \sqrt[y]{xe^{\frac{i\pi}{2}}} = xe^{\frac{i\pi}{2y}} \end{eqnarray}$

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