allgemeines Skalarprodukt

30.09.2005, 21:56

KimmeY

allgemeines Skalarprodukt

Seufz, noch so ne Aufgabe der Übrungsklausur:

Gegeben ist eine Abbildung *: R3*R3 --> R, für die die Gesetzte (i) bis (iii) der Skalarmultiplikation erfüllt sind. Für die zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec {a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec {b} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} * \vec{a} =1 ; \vec{b}* \vec{b} = 2 ; \vec{a} *\vec{b} =2 \end{eqnarray*}$

(nur damit es zu keiner verwirrung kommt, * soll hier für das nicht näher definierte multiplizieren stehen, also als basis sind hier nicht die Einheitsvektoren anzusehen)

So, ich versteh schon nicht was mir da mit diesem r-dingesda gesagt werden soll......

Ahso die Aufgabe: Ist hierdurch ein Skalarprodukt definiert...

30.09.2005, 22:57

JochenX

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was sind denn die gesetze (i) bis (iii) der "skalarmultiplikation"? [soll das skalare multiplikation sein ?]
was muss für ein skalarprodukt alles gelten? [kannst du alles zeigen oder eins widerlegen?]

was sind a und b für vektoren? zwei übe die nichts weiter gesagt wird?

Zitat:

(nur damit es zu keiner verwirrung kommt, * soll hier für das nicht näher definierte multiplizieren stehen, also als basis sind hier nicht die Einheitsvektoren anzusehen)

bitte was wilst du uns damit sagen?

Zitat:

So, ich versteh schon nicht was mir da mit diesem r-dingesda gesagt werden soll......

30.09.2005, 23:22

KimmeY

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also ich wollte damit sagen dass es halt nicht das normale skalarprodukt ist, was alle kennen also $\begin{eqnarray*} \vec {a} \cdot \vec {b} = a1b1 + a2b2 \end{eqnarray*}$

sondern dieses verallgemeinerte halt....

also wenn dir verallgemeinertes skalarprodukt nichts sagt nehm ich mir morgen mal die zeit und tipp das aus dem mathebuch ab, nur das dauert etwas länger....

nein über die vektoren a und b ist nichts weiter gesagt und es ist auch keine basis gegeben was mein problem darstellt^^

was ich nicht versteh ist, was man mir mit:
Gegeben ist eine Abbildung *: R3*R3 --> R sagen will, weil ich hab da keine abbildung^^

01.10.2005, 00:09

KimmeY

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Satz:

Für die Skalarmultiplikation von Vektoren a,b,c gilt:

1.) $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} r\vec{a} \cdot \vec{b} = r(\vec{a} \cdot \vec{b}) \end{eqnarray*}$ für jede reelle Zahl r
3.) $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} +\vec{b} )\cdot \vec{c}= \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$
4.) $\begin{eqnarray*} \vec {a} \cdot \vec {a} > 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec {a} \cdot \vec {a} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \vec {a} = \vec {o} \end{eqnarray*}$

das sind die regeln für die Sklalarmultiplikation

----------------------

Verallgemeinerung des Skalarprodukts:

So wie man die Orthogonalität verallgemeinern kann (orthogonal zu einer bestimmten Basis), kann man auch das Skalarprodukt verallgemeinern.

Gilt $\begin{eqnarray*} \vec{x} = u_1\vec{b_1} + u_2\vec {b_2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{y} = v_1\vec{b_1} + v_2\vec {b_2} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \vec {b_1}, \vec {b_2} \end{eqnarray*}$ , so fasst man $\begin{eqnarray*} \vec {x} * \vec {y} = u_1v_1 + u_2v_2 \end{eqnarray*}$ als ein neues Produkt auf.

....... blabla ....

Daher definiert man als verallgemeinertes Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}; \vec{y} =\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{x} * \vec{y} = a_{11}\cdot x_1\cdot y_1 + a_{12}\cdot x_1\cdot y_2+ a_{21}\cdot x_2\cdot y_1 + a_{22}\cdot x_2\cdot y_2 \end{eqnarray*}$ (die zahlen hinter dem a gehören jeweils tiefergestellt, aber der editor nimmt immer nur eine zahl unglücklich

) wenn gilt: $\begin{eqnarray*} a_{11}>0 , a_{22}>0, a_{12}=a_{21} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0 \end{eqnarray*}$ .

so, nun wie wir auf die koeffizienten a11 usw. kommen....

wenn ich $\begin{eqnarray*} \vec {b_1} , \vec {b_2} \end{eqnarray*}$ als basis gegeben habe, kann ich die einheitsvekotoren $\begin{eqnarray*} \vec{e_1} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \vec{e_2} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch die basis darstellen:

$\begin{eqnarray*} \vec{e_1} = p_1\vec{b_1} + p_2\vec{b_2} ; \vec{e_2}= q_1\vec{b_1}+ q_2 \vec{b_2} \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{11}=p_1^2+p_2^2 ; a_{22}= q_1^2+q_2^2; a_{12}=a_{21}=p_1q_1+p_2q_2 \end{eqnarray*}$

joa und das wars, damit kann man dann ganz tolle aufgaben rechnen.......ich hoffe das hilft weiter fürs verständnis...... Prost

traumhaft oder????

edit: Latex-Codes verbessert. Für $\begin{eqnarray*} a_{12} \end{eqnarray*}$ z. B. musst du "a_{12}" schreiben. Außerdem bitte immer ^2 und nicht ² schreiben, da letzteres von manchen Browsern nicht angzeigt wird!! (MSS)

01.10.2005, 10:24

Leopold

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RE: allgemeines Skalarprodukt

Zitat:

Original von KimmeY

...

Gegeben ist eine Abbildung *: R3*R3 --> R, für die die Gesetzte (i) bis (iii) der Skalarmultiplikation erfüllt sind. Für die zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec {a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec {b} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} * \vec{a} =1 ; \vec{b}* \vec{b} = 2 ; \vec{a} *\vec{b} =2 \end{eqnarray*}$

...

Ahso die Aufgabe: Ist hierdurch ein Skalarprodukt definiert...

Da (i) bis (iii) gelten sollen, kann es ja nur noch um (iv), die positive Definitheit, gehen. Würde (iv) gelten, wäre hierfür ein allgemeiner Beweis zu führen. Die Informationen der Aufgabe reichen dazu aber nicht aus, da man nicht weiß, wie das potentielle Skalarprodukt definiert ist. Es sind ja nur die Werte dreier konkreter Produkte bekannt. Der Verdacht liegt daher nahe, daß die gegebenen Produktwerte im Widerspruch zu (iv) stehen, daß also mit anderen Worten kein Skalarprodukt vorliegt.

Versuche daher, mit geeigneten Skalaren $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \end{eqnarray*}$ (probieren!) durch Berechnung von

$\begin{eqnarray*} \left( \lambda \vec{a} + \mu \vec{b }\right) * \left( \lambda \vec{a} + \mu \vec{b }\right) \end{eqnarray*}$

unter Verwendung der drei gegebenen Produktwerte einen Widerspruch zu (iv) zu erzeugen. Das scheint nicht allzu schwer zu sein.

Die Bezeichnung "Skalarmultiplikation" in deinem Satz irritiert mich etwas. Ich meine, das müßte "Skalarprodukt" heißen, da man unter "Skalarmultiplikation" gemeinhin die Multiplikation $\begin{eqnarray*} \lambda \vec{x} \end{eqnarray*}$ eines Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ mit einem Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ versteht.

01.10.2005, 15:13

KimmeY

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RE: allgemeines Skalarprodukt

Zitat:

Original von Leopold
Die Bezeichnung "Skalarmultiplikation" in deinem Satz irritiert mich etwas. Ich meine, das müßte "Skalarprodukt" heißen

erm jo, seh ich auch grad Forum Kloppe

ups..... hehe, trotzdem danke für antwort auch wenn ich dich verwirrt hab, ich schaus mir mal an. oh man, dann war die ganze mühe umsonst wenn ich blos mal ordentlich geschaut hätte *seufz* naja aus fehlern lernt man

01.10.2005, 15:29

Leopold

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Und noch ein Hinweis: Falls ihr schon Folgerungen aus den Axiomen eines Skalarproduktes gezogen habt, insbesondere du die CSU (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) schon kennst, kannst du aus den drei gegebenen Produkten sofort einen Widerspruch zur CSU erzeugen.

01.10.2005, 16:29

KimmeY

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das sagt mir gar nichts, absolut gar nichts. verwirrt

hättest du dazu vielleicht ne seite wo ich mir das mal durchlesen kann? vielleicht hilfts weiter....
unser lehrer meinte auch dass das anforderungsbereich 3 ist, also neue sachen die wir so noch nicht hatten

EDIT: habs mir mal bei Wikipedia angeschaut, nur bin ich mir nicht sicher wegen der komischen Schreibweise die die da haben^^

also, ich hab das so vertsanden: Wenn ein Skalarprodukt definiert ist muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{x}* \vec {y} \mid ^2 \leq (\vec{x} *\vec{x} )\cdot (\vec{y}* \vec{y}) \end{eqnarray*}$

bei mir wärs aber falsch, weil 4>2 ist, oder?

01.10.2005, 21:38

KimmeY

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$\begin{eqnarray*} \left( \lambda \vec{a} + \mu \vec{b }\right) * \left( \lambda \vec{a} + \mu \vec{b }\right) > 0 \end{eqnarray*}$ dann stimmt das mit der positiven definitheit.

wenn ich für $\begin{eqnarray*} \lambda = -2 \end{eqnarray*}$ einsetze und für $\begin{eqnarray*} \mu = 1 \end{eqnarray*}$ komm ich für die linke seite genau auf 0, das müsste doch als gegenbeispiel schon reichen oder?

EDIT: Aber woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} \left( \lambda \vec{a} + \mu \vec{b }\right) * \left( \lambda \vec{a} + \mu \vec{b }\right) > 0 \end{eqnarray*}$ das gilt, wie beweis ich dass das gelten muss? ich meine, dass das ohne lambda und my gelten muss ist klar, aber warum darf ich lambda und my frei wählen? hat das was mit dem R3*R3--> R zu tun? besagt das R am Ende das ich für lamda und my alle reellen zahlen einsetzten kann und trotzdem muss das gelten?

wäre für eine Rückmeldung sehr dankbar

02.10.2005, 12:58

Leopold

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Die Sache mit der CSU hast du richtig herausgefunden (die Betragsstriche auf der linken Seite sind jedoch überflüssig, solange man sich in reellen Vektorräumen aufhält).

Das Beispiel $\begin{eqnarray*} \lambda=-2, \mu=1 \end{eqnarray*}$ führt bei mir auf einen negativen Wert. Aber genau das braucht man auch, da dies im Widerspruch zur positiven Definitheit steht. Denn der Wert 0 ist bei einem Skalarprodukt durchaus möglich, falls nämlich der quadrierte Vektor der Nullvektor ist.

02.10.2005, 13:59

KimmeY

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jups, habs gesehen, hatte einmal zuviel quadriert geschockt

, -2 kommt raus, alles klar..... trotzdem hast du mir immernoch nicht begründet warum das gelten muss....

02.10.2005, 14:20

Leopold

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Ich verstehe deine Frage nicht ganz. Bei einem Skalarprodukt wird doch $\begin{eqnarray*} \vec{x} * \vec{x} \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ gefordert. Wenn du nun aber einen konkreten Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ gefunden hast, nämlich $\begin{eqnarray*} \vec{x} = -2 \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \vec{y} = \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray*}$ täte es übrigens auch), für den genau diese Forderung verletzt ist, dann liegt eben kein Skalarprodukt vor.

02.10.2005, 17:27

KimmeY

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joa, jetzt versteh ich auch was du meinst geschockt

outsch, manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht, gut danke, damit ist das ganze dann geklärt Big Laugh

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